عدد غير كسري

الثابتة الرياضية المشهورة π هي من بين الأعداد غير النسبية الأكثر شهرة والأكثر تمثيلا في الثقافة الشعبية، أما بالنسبة للرقم 22/7 فهو نسبة تقريبة لπ

في الرياضيات، الأعداد غير الكسرية^{[ملاحظة 1]} (Irrational number)‏ هي الأعداد الحقيقية التي لا يمكن كتابتها على صورة كسر اعتيادي (أي كسر بسطه ومقامه عددان صحيحان ومقامه يختلف عن الصفر).

وبتعبير آخر، الأعداد غير النسبية لا يمكن أن تُمثل على شكل كسر بسيط. فالأعداد غير النسبية هي الأعداد الحقيقية التي ليس لها تمثيل عشري منته أو متكرر. ونتيجة على برهان كانتور على كون الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد (وأن الأعداد النسبية قابلة للعد)، فإن الأعداد الحقيقية كلها تقريبا غير نسبية.

قد تكون الثوابت الرياضية ${\displaystyle \pi }$ وعدد أويلر ${\displaystyle {e}}$ والجذر التربيعي ل 2, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ والنسبة الذهبية φ من أشهر الأعداد غير الكسرية.

التاريخ

العدد ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ غير نسبي.

انظر إلى الرياضيات الهندية.

الإغريق

الهند

العصور الوسطى

في العصور الوسطى، تمكن تطور علم الجبر من طرف علماء الرياضيات المسلمين من التطرق إلى الأعداد غير النسبية باعتبارها كائنات جبرية. وقد جمع علماء رياضيات الشرق الأوسط بين مفهومي العدد والمقدار، في فكرة واحدة أكثر عمومية تتمثل في الأعداد الحقيقية، كما انتقدوا مفهوم النسبة المقدم من طرف أقليدس.

عالم الرياضيات الفارسي المهاني (توفي في عام بين عامي 874 و884) خلال تعليقه على الجزء العاشر لكتاب العناصر، درس وصنف الأعداد غير الجذرية التربيعية والأعداد غير الجذرية التكعيبية.

حاليا

في القرن السابع عشر، صارت الأعداد التخيلية أداة قوية بين يدي أبراهام دي موافر وخصوصا ليونهارد أويلر.

لقيت الكسور المستمرة، لأنها شديدة الارتباط بالأعداد غير النسبية (عمل بييترو كاتالدي على ذلك في حوالي عام 1613)، اهتماما كبيرا من طرف ليونهارد أويلر، ومع بداية القرن التاسع عشر، جُلبت إلى شهرة كبيرة بفضل كتابات جوزيف لوي لاغرانج. كما أضاف دركليه ومساهمون آخرون إضافات كثيرة إلى هذا المجال.

برهن يوهان هاينغيش لامبرت في عام 1761، أن العدد π لا يمكن أن يكون نسبيا، وأن العدد eⁿ هو أيضا غير نسبي ما دام n يختلف عن الصفر.

أدريان ماري ليجاندر، (في عام 1794)، بعدما أن قدم دالة بيسل-كليفورد، أعطى برهانا يبين أن π² عدد غير نسبي مما يدل مباشرة بأن π هو أيضا عدد غير نسبي. ولقد برهن على وجود الأعداد المتسامية لأول مرة من طرف جوزيف ليوفيل (1844، 1851). فيما بعد، برهن جورج كانتور (1873) على وجودهم بطريقة أخرى، مبرهنا بذلك وجود أعداد متسامية في أي مجال من الأعداد الحقيقية. في عام 1873، برهن تشارلز هيرمت على أن e عدد متسام. ثم برهن فيردينوند فون ليندمان في عام 1882، اعتمادا على نتائج هيرميت، على أن π هو أيضا عدد متسام. ولقد بُسط برهانه عام 1885 من طرف كارل ويرستراس، وبسط بشكل أكبر في عام 1893 من طرف ديفيد هيلبرت. وفي نهاية المطاف، بُسط هذا البرهان إلى مستوى ابتدائي من طرف أدولف هورفيتز وبول غوردان.

أمثلة للبراهين

الجذور التربيعية

الجذر التربيعي ل 2 هو أول عدد عُرف عنه بأنه عدد غير نسبي. العدد الذهبي هو ثاني عدد اشتهر بكونه عددا غير جذري. الجذر التربيعي لأي عدد صحيح موجب ليس بمربع كامل هو عدد غير نسبي.

الأعداد غير الجذرية المتسامية والأعداد غير الجذرية الجبرية

تقريبا جميع الأعداد غير الجذرية هي أعداد متسامية وجميع الأعداد الحقيقية المتسامية هي أعداد غير جذرية (هناك أيضا أعداد متسامية عقدية). e ^r و π ^r أعداد غير جذرية إذا كان r ≠ 0 جذريا; e^π هو عدد غير جذري.

مسائل مفتوحة

لا يُعرف هل العددان π + e و π − e هما نسبيان أم لا. وبشكل أكثر عموما، لا يُعرف هل يوجد عددان صحيحان m و n حيث يعلم العدد mπ + ne هل هو جذري أم لا. بالإضافة إلى ذلك، لا يُعرف هل المجموعة {π, e} مستقلة جبريا أم لا على مجموعة الأعداد الجذرية Q.

لا يُعرف هل πe و π/e و 2^e و e^e و e^ee و π^e و π^{الجذر التربيعي ل 2} و لوغارتم طبيعي π و ثابتة كاتالان وثابتة أويلر-ماسكيروني γ أعداد نسبية أم غير نسبية.

مجموعة الأعداد غير النسبية

هي الجذور التي تكون مربعاتها ليست كاملة مثل 7√ و 5√

مقالات ذات صلة

• حد ديديكايند
• البرهان على أن e عدد غير كسري
• البرهان على أن π عدد غير كسري
• عدد متسام
• جذر عدد
• الجذر التربيعي ل 2
• الجذر التربيعي ل 3
• الجذر التربيعي ل 5
• مجموعات الأعداد

هوامش وملاحظات

مراجع

وصلات خارجية

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة نظرية الأعداد