قائمة النهايات

هذه الصفحة تنطوي على عدد من نهايات بعض الدوال الرياضية الشائعة. مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.

نهاية الدوال بوجه عام

إذا كان ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$ و ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$ ، فإن:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n}}$ إذا كان n عدد صحيح موجب.

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n}}$ إذا كان n عدد صحيح موجب، وإذا كان a عدد زوجي، فإن ${\displaystyle L_{1}>0}$ .

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad {\text{ if }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty }$ (قاعدة لوبيتال)

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}$

نهاية بعض الدوال الخاصة

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-\cdots {\sqrt {2}}}}}}}} _{n-1}=\pi }$

نهايات بعض الدوال الأولية

${\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}ax+b=ac+b}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}}$ ، إذا كان r عدد صحيح موجب.

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=}$

${\displaystyle -\infty }$ إذا كان r عدد فردي

${\displaystyle +\infty }$ إذا كان r عدد زوجي

نهايات الدوال الأسية

دوال من الشكل a^g(x)

${\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}$، بسبب إستمرارية${\displaystyle e^{x}}$.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}$^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}$

دوال من الشكل x^g(x)

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}$

دوال من الشكل f(x)^g(x)

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}={\frac {1}{e^{k}}}}$^[2]

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}$^[2]

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$^[3]

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}$^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}\qquad }$.

${\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},\qquad \forall ~a>0}$^[4][3]

نهايات الدوال اللوغاريتمية

اللوغاريتم الطبيعي

${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}$, بسبب استمرارية ${\displaystyle \ln {x}}$، على وجه الخصوص.

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}$^[3]

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}$. تتبع هذه النهاية قاعدة لوبيتال.

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$^[1]

لوغاريتمات ذات أساسات إختيارية

• من أجل a>1 :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty }$

• من أجل a<1 :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty }$

نهايات الدوال المثلثية

${\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}$

هذه النهايات تتبع كلا من استمرارية الجيب وجيب التمام.

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ ، أو بشكل عام:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1}$ ، من أجل a ≠ 0.

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$ ، من أجل b ≠ 0.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }$ من أجل كل عدد صحيح n.

بسبب دورية الدوال المثلثية، ليس لديها نهاية عند ±∞.

النهايات عندما تؤول (x) إلى مالانهاية

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }N/x=0{\text{ for any real }}N}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\text{does not exist}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&-1<N<1\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\text{ for any }}N>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\text{does not exist}},&N<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\text{ for any }}N>0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$

انظر

قائمة التكاملات

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي