مجموعة كثيفة

المجموعة الكثيفة (Dense set)‏، هي خاصية طوبولوجية تكون فيها مجموعة ${\displaystyle A}$ كثيفة داخل مجموعة ${\displaystyle X}$ إذا كانت ${\displaystyle A}$ ضمن ${\displaystyle X}$ وإذا كان كل عنصر من ${\displaystyle A}$ إما منتميا ل ${\displaystyle X}$ أو يمثل نقطة حد (Limit point) ل ${\displaystyle A}$. بمعنى أن ${\displaystyle A}$ تمكن من حصر (بالمعنى الجبري الطوبولوجي) جميع عناصر ${\displaystyle X}$.^[1][2]

تعريف

تعريف عام - طوبولوجي

باعتبار ${\displaystyle X}$ فضاء طوبولوجيا و ${\displaystyle A\subset X}$ جزءا منه، يكون ${\displaystyle A}$ كثيفا داخل ${\displaystyle X}$ ويقال أيضا ${\displaystyle A}$ كثيف في كل مكان، إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:

• كل مجموعة مفتوحة غير فارغة في ${\displaystyle X}$ تضم عناصر من ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle X}$ هي غالق ${\displaystyle A}$ .
• كل نقطة في ${\displaystyle X}$ هي ملاصقة ل ${\displaystyle A}$
• مكملة ${\displaystyle A}$ داخلها فارغ

تعريف تحليلي

باعتبار ${\displaystyle E}$ فضاء متجهيا معياريا و ${\displaystyle D\subset E}$ جزءا منه، يكون ${\displaystyle D}$ كثيفا داخل ${\displaystyle E}$ إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية^[1]:

• لكل نقطة ${\displaystyle x\in E}$ توجد متتالية ${\displaystyle (y_{n})}$ معرفة في ${\displaystyle D}$ تؤول في مالانهاية إلى ${\displaystyle x}$
• لكل نقطة ${\displaystyle x\in E}$ و كل ${\displaystyle \epsilon >0}$ يوجد ${\displaystyle y\in D}$ يحقق ${\displaystyle \|y-x\|\leq \epsilon }$
• غالق ${\displaystyle D}$ (${\displaystyle {\overline {D}}}$) يساوي ${\displaystyle E}$

يمكن تعميم التعريف للفضاءات القياسية بتعويض المعيار بالمسافة.

أمثلة

• مجموعة الأعداد الجذرية ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ كثيفة داخل مجموعة الأعداد الحقيقية ${\displaystyle \mathbb {R} }$.^[2]
• الزمرة العامة الخطية، مجموعة المصفوفات القابلة للعكس، ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$ كثيفة داخل مجموعة المصفوفات ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$.^[2] وأيضا ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ داخل ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )}$.^[3]

خاصيات

• حسب مبرهنة ستون-فايرستراس، فإن فضاء الحدانيات كثيف داخل فضاء الدوال المتصلة المعرفة في المجال ${\displaystyle [0,1]}$ والتي مستقرها في ${\displaystyle \mathbb {C} }$.^[3]

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة جبر
• موسوعة رياضيات