Religion égyptienne

Dans la religion égyptienne antique, Noun était le nom du dieu d'un océan infini existant avant la création du monde^{[9],[10],[11],[12],[13]}.

Chine

Une théorie de l'infini a été développée par le moïsme, une des « cent écoles » de philosophie nées en Chine au cours de la période des Royaumes combattants, qui remettait en cause les enseignements confucianistes et taoïstes^[14] aux environs de 300 av. J.-C. Cette théorie a été publiée dans le texte fondateur de cette école, qui est un recueil des paroles et des pensées de son maître : Mozi^[15].

Mathématiques indiennes

Le Yajur-Veda documente la plus ancienne utilisation connue de nombres allant jusqu'à cent mille billions (parārdha en sanskrit^[16]). Il utilise aussi le concept d'infinité numérique (pūrṇa), établissant que si on soustrait pūrṇa de pūrṇa, il reste toujours pūrṇa^[17].

Judaïsme

La Bible fait référence à l'infini en trois endroits du texte - dans le Livre de Job, chapitre 22, verset 5, dans Psaumes 147 : 5 et au livre de Nahum, chapitre 3, verset 9^[18].

Les acceptions générales du concept de l'infini chez les présocratiques

Il ne reste que quelques fragments de leurs écrits, ce qui rend la recherche difficile. C'est pourquoi, afin de savoir ce que disent les présocratiques quant au concept de l'infini, il faut consulter Aristote qui fut le premier à recenser leurs thèses. Sur l'infini, c'est dans le livre III de sa Physique qu'il énumère les points communs entre les pensées de ses prédécesseurs et les raisons qui les ont poussés à croire en l'existence de l'infini.

Cinq raisons qui ont poussé à la croyance de l’infini

Premièrement, l'infini est dans la division des grandeurs.

Les mathématiciens aussi utilisent l'infini, et ce par la division. Par exemple, la formule de l'aire du cercle π.r² est corroborée par la division du cercle en un nombre infini de triangles.

Deuxièmement, il y a infinité de la source.

En effet, la destruction et la génération ne s'épuisent pas, ce ne peut être que grâce à l’infinité de la source d’où tout est engendré.

Troisièmement, le temps est infini.

Toute génération reçoit une fin, mais la source n'a pas de principe qui l'engendre et ainsi elle n'a pas non plus de fin. Ainsi, le mouvement de la génération et de la corruption s'inscrit dans le temps et il est dû à une source inengendrée et incorruptible. C’est dire que le temps lui-même est infini.

Quatrièmement, il n'y a pas de limite en soi.

Ce qui est limité ne l'est que par autre chose, de sorte que rien ne sera limite puisque la limitation est toujours entre deux termes. L'infini est cette absence de limite en soi.

Cinquièmement, la représentation de l'infini ne l'épuise pas.

Aristote donne pour exemple les grandeurs mathématiques et ce qui est hors du ciel. Les quantités et les étendues ne peuvent pas circonscrire l'infini par représentation. Autrement dit, on ne peut pas cerner l'infini dans son ensemble, car l'infini est toujours plus grand que ce qu'on aura cerné.

Il est toutefois possible, à partir des fragments et des commentaires, de distinguer la pensée de chacun des présocratiques et de la comprendre pour elle-même.

L'infini à travers quelques théories présocratiques

Anaximandre

Schémas du modèle de l'univers d'Anaximandre. À gauche, le jour en été ; à droite, la nuit en hiver.

Le concept d'infini (apeiron) fut pour la première fois introduit dans la pensée du philosophe Anaximandre (vers -610 Milet – vers -546), élève de Thalès. Sous son influence, il voulut se pencher sur le fondement de l'univers, et c'est ainsi qu'il en vint à postuler l'infini comme principe et comme substrat des choses qui existent. En effet, le rôle de substrat ne peut être assigné à l'un des quatre éléments (l'eau pour Thalès, l'air pour Anaximène, le feu pour Héraclite), car ils sont changeants, dépendent les uns des autres et aucun ne peut être privilégié. Il faut donc, au-delà des éléments, une autre nature qui agit comme substrat d'où sont engendrés tous les mondes. Ce substrat, c'est l'infini, le principe qui engendre l'univers sous l'influence d'un mouvement éternel. Le mouvement éternel est en constante production, il s'agit en ce sens d’un « retour générique ». Ce retour a besoin d’un principe matériel qui doit être inépuisable afin de tout produire éternellement. C’est celui de l’apeiron et c’est en ce sens que l’infini est aussi mouvement éternel chez Anaximandre.

Mélissos

Mélissos, élève de Parménide, considère que ce qui existe, ou plutôt ce qui est, doit être unique : il n'existe qu'une seule chose. Fondé sur les dires de son maître, il affirme qu'une chose qui existe, existe toujours, mais il ajoute qu'elle doit également toujours être infinie en grandeur. L'argument prend comme point de départ l'impossibilité du vide. Par exemple, s'il n'y a rien entre plancher et plafond, c'est dire que le plancher et le plafond sont contigus, et qu'il n'y aurait pas de séparation entre ces deux termes. Le vide ainsi expulsé, s'il y a de l'être, il n'y a que de l'être. Ensuite, toute chose doit être dans un espace et il n'y a qu'un espace, or ce dernier est occupé pleinement par l'être et par un être qui est unique. En effet, nul ne peut dire de l'être qu'il est et qu'il n'est pas, ni dire qu'un être est à certains endroits et pas à d'autres. C'est pourquoi l'être est infini en grandeur, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de limite à l'être.

La dichotomie

Si le mouvement existe, un corps en mouvement doit se déplacer sur une certaine distance en un temps fini ; mais avant d’avoir parcouru toute la distance, le corps doit d’abord en avoir parcouru la moitié ; et avant d’en avoir parcouru la moitié, il doit avoir parcouru la moitié de cette moitié. Puisque toute distance est divisible en moitiés, et ce, à l’infini, et puisqu’il est impossible de parcourir un nombre infini de positions en un temps fini, le mouvement n’existe donc pas.

Achille et la tortue

Achille, héros de la mythologie grecque, ne peut rattraper la tortue qu’il poursuit ; en effet, avant de la rattraper, il doit d’abord atteindre le point d’où celle-ci est partie au début de la course. Mais pendant ce temps, la tortue continue d’avancer d’une certaine distance ; même si cette distance est moins grande que celle parcourue par Achille (car la tortue est plus lente), elle avance quand même, elle n’est pas immobile. Ainsi, durant le temps qu’il faut à Achille pour parcourir cette deuxième distance, la tortue a encore parcouru une certaine distance. Donc, même si cette distance diminue à chaque étape, la tortue ne sera jamais rattrapée par Achille^[21],[22].

Avicenne reprend Aristote

Avicenne (980 Afshéna, près de Boukhara, dans la province de Grand Khorasan - 1037), pour établir sa métaphysique, a repris celle établie par Aristote, mais lue à travers Al-Fârâbî et le néoplatonisme^[24]. C’est-à-dire qu’il va comprendre des notions aristotéliciennes, mais dans un contexte théologique. Ainsi, il reprend l’idée du monde éternel, mais dans une métaphysique créationniste^[25]. Dans le cadre de l’infini, il est évident que l’existence d’un Dieu viendra donner un sens nouveau à la métaphysique d’Aristote car Dieu amène des notions d’infini qui ne sont pas présentes chez Aristote. Avant de poursuivre, il faut définir certains concepts afin de montrer comment Avicenne les utilise.

La distinction entre acte et puissance

La puissance est définie comme étant : « toute disposition se trouvant dans une chose et étant principe de changement »^[26], tandis que l’acte (ou l’actualisation) étant ce passage de l’état de repos à l’état actif, une chose changeant d’état passerait de la puissance à l’acte. On peut prendre par exemple, la graine qui détiendrait l’arbre en puissance et qui deviendrait acte une fois celui-ci poussé. À ce sujet Aristote accepte l’infini en puissance (sous forme d’infini par division et par addition), mais rejette l’infini en acte. Avicenne va rajouter une sous-division entre actualité forte/faible et potentialité forte/faible^[27].

L’infini dans le monde sublunaire

Tout d’abord, l’infini en acte est amené par la théologie ; les âmes (des hommes) étant immortelles, il y en a donc une infinité dans un monde éternel^[32]. C’est d'ailleurs ce qui caractérise l’infini en acte fort dans l’avicennisme.

L’infini en acte faible étant quant à lui défini par les évènements et les années passés^[27]. Pour bien comprendre ce type d’infini, il faut maintenant s’attarder au concept de causalité. Car, selon Avicenne, il y aurait des causes accidentelles (ou adjuvantes) en nombre infini. En d’autres termes, il y a une succession infinie de causes préparatrices. Ici entre en jeu la distinction entre causes essentielles et causes adjuvantes. Les causes essentielles (ou vraies) étant liées au mouvement, au continu, car elles demeurent avec l’effet. Les causes vraies « empêchent la non-existence de la chose »^[33]. Les causes adjuvantes sont secondaires car elles sont antérieures à la chose. Celles-ci seraient en nombre infini selon Avicenne. On peut penser à la relation père/fils qui remonterait de génération en génération pour expliciter ce fait. Car, dans le contexte d’un monde éternel, il y a une infinité de relations filiales. En effet, « […] ce qui va ad infinitum c’est un individu qui vient après un autre […] »^[34].

En ce qui concerne l’infini en puissance fort, il est toujours le même que l’infini en puissance d’Aristote, à savoir l’infini par division et par addition. C’est pourquoi il ne sera pas plus détaillé dans cet article. En effet, comme dans les paradoxes de Zénon, on peut facilement imaginer la division d’une ligne en quatre parties, la division de chacune de ces parties en quatre et ainsi de suite, à l'infini.

Concernant l’infini en puissance faible, il se trouve dans le mouvement. Tel que mentionné précédemment, ce mouvement ne correspond pas à celui des sphères célestes. En effet, celui-ci, n’est pas réellement continu et peut se regarder de différentes façons. On peut déjà le voir comme le mouvement général d’un corps. Cependant, cette définition du mouvement ne sera pas celle important dans le cas de l'infini en puissance faible ; l’impulsion concrète d’un corps à un instant précis étant plutôt la définition à retenir^[27]. En d'autres termes, le passage d’un temps A à B serait un mouvement constitué d’une infinité de temps. On peut penser à une addition infinie de points mis bout à bout pour former une ligne. Cette ligne, comme le mouvement, serait d’apparence continue mais serait en réalité constituée de plusieurs points intermédiaires^[35].

Un apport à l'infini mathématique

Dans une démonstration du mouvement continu des anges au Livre II de l'Ordinatio, Scot (1266 Duns - 1308) soulève deux paradoxes qui entreront dans la postérité. Dans sa défense, il voudra réfuter la thèse selon laquelle le continu est formé d'indivisibles. Chez Aristote, dans Le Livre VI de la Physique, il est clair qu'« il est impossible qu'un continu soit formé d'indivisibles, par exemple qu'une ligne soit formée de points, s'il est vrai que la ligne est un continu et le point un indivisible »^[36], mais cette preuve inspirée de l'autorité du Philosophe ne lui suffit pas. Il proposera deux problèmes géométriques du même esprit montrant tout le contradictoire d'une telle théorie.

Dans l'une des deux, on trace deux cercles concentriques à partir d'un centre a. Le petit, noté D et le plus grand, noté B. Scot dira que puisque, selon cette théorie, la circonférence du grand cercle est formée de points, il est possible d'en identifier deux, b et c. Du point a, traçons une ligne droite le joignant à chacune de ces deux points de manière que les deux droites formées coupent le petit cercle D. La question : les droites ab et ac coupent-elles D en un seul point ou en deux points distincts ? S'il s'agit du même point, l'une des deux droites ne sera plus droite (mais courbe) ce qui entre en contradiction avec la prémisse du départ. Dans le cas contraire, B et D incluraient le même nombre de points, pourtant, fait remarquer Scot, il est impossible à deux cercles inégaux d'être composés d'un nombre égal de parties égales. Il en découle qu'un continu, ici représenté par la ligne, ne peut être composé d'un nombre de points discrets^[37].

Le paradoxe des cercles

Bien que Scot lui-même n'ait pas explicité la chose dans ces termes, pour sa postérité, il s'est retrouvé à illustrer à l'aide de ces figures géométriques, en germe, certaines des découvertes les plus importantes concernant l'infini mathématique se retrouvant entre autres chez Georg Cantor. Les rayons issus du centre créant entre les points des deux cercles une correspondance biunivoque, le paradoxe soulève la possibilité pour deux ensembles infinis d'indivisibles d'être égaux malgré leurs tailles manifestement inégales^[38].

D'ailleurs, dans une autre démonstration, Duns Scot se frottera à de pareils débats quant à la grandeur des infinis. Scot à la question 3 du livre II, distinction 1 de l'Ordinatio rabat l'objection selon laquelle il serait impossible pour Dieu de produire quelque chose d'autre que lui-même sans que cette production ait un commencement^[39]. Selon cette objection, si la création est ab aeterno sine principio, l'infini qui a mené jusqu'à hier est équivalent à l'infini qui s'est écoulé jusqu'à aujourd'hui ce qui va à l'encontre de l'axiome d'Euclide voulant que la partie soit toujours plus petite que le tout. À cela, dans un premier temps, le Docteur répondra que ces deux dernières caractérisations ne sont applicables qu'aux grandeurs finies puisque les choses se divisent en fini et infini avant que « plus grand » ou « plus petit » ne s'appliquent. Cependant, ses adversaires soulèvent le problème qu'une création de toute éternité produirait une quantité infinie d'âmes en acte, or, une telle chose est impossible selon le Philosophe. Devant cette objection, Scot développe davantage : « Tout ce qui ne peut pas être fait par Dieu en un jour, parce que « cela implique contradiction » ne pourrait, pour la même raison, être fait par lui au cours d’un temps d’une durée infinie. »^[40] Il en vient à cette conclusion : « Il apparaît donc, que les instants de ce jour – voire de cette heure – ont une infinité égale à celle des instants infinis de ces jours infinis. »^[40] Cette intuition se verra, entre autres, confirmée par Richard Dedekind dans sa définition d’un ensemble infini qui se caractérise justement par l'équivalence entre le dit ensemble infini et une de ses parties propres de ce point de vue^[41].

De l'infini mathématique à l'infini théologique

Il n’en demeure pas moins que le fondement de l’affirmation par Scot qu’il existe quelque chose comme un infini en acte est théologique. Jean Duns Scot refuse qu’il soit impossible pour Dieu de créer spontanément une infinité en acte. En effet, selon Aristote une grandeur ne peut être infinie qu’en puissance. Or, voulant construire l'idée d'une nature infinie intensivement (selon la qualité), Scot fait un passage obligé par la démonstration d'une grandeur extensivement (selon la quantité) infinie en acte^[42]. Selon la définition d’Aristote au Livre III de la Physique, l’ « infini est ce qui est tel que lorsqu’on en prend une quantité, c’est-à-dire quelque grande que soit la quantité qu’on prend, il reste toujours quelque chose à prendre »^[43], donc un tout infini n’est qu’une réalité potentielle et par cela, conclut Scot, imparfaite. Pour remédier à une telle situation, le médiéval imagina à partir de cet infini potentiel ce qu’il serait en acte :

Pour notre propos, dit Duns Scot, transformons la notion d’infini potentiel dans la quantité en la notion de l’infini en acte dans la quantité en supposant qu’il puisse être en acte dans la quantité. Nécessairement, la quantité croîtrait toujours, en prenant une partie après l’autre, mais si nous imaginons que toutes les parties qui peuvent être prises successivement le sont simultanément, alors nous aurons une quantité infinie en acte, puisqu’elle sera aussi grande en acte qu’elle l’est en puissance. Si donc toutes les parties étaient conçues comme présentes en acte simultanément, l’infini ainsi imaginé serait véritablement un tout et serait véritablement parfait, car il n’y aurait rien au dehors. Bien plus, nulle quantité ne pourrait lui être ajoutée, car alors il pourrait être excédé. »^[44]

Par ce passage, Jean Duns Scot fait de l’infini non pas ce qui laisse toujours quelque chose derrière, mais bien ce qui excède le fini selon toute proportion déterminée ou déterminable^[45].

Le passage de l'infini en quantité à l'infini sous le mode de la qualité ne se fait pas non plus sans Aristote. Bien que chez ce dernier l'infini ne s'applique qu'aux grandeurs, il ouvre une porte au livre V de sa Métaphysique admettant la transposition de notions quantitatives à d'autres objets « par extension »^[46]. À la question 6 du Quodlibet, Scot commente ce dernier passage et montre que des termes quantitatifs comme petit, grand, moins, plus, sont applicables à tous les êtres, peu importe leur genre. La transposition de la physique à la métaphysique est, par là, possible. Toutefois, Scot voudra faire de l'infini non un accident mais une quantité d'être ou quantité de perfection. Il tire de l’océan d'être infini de l'essence divine de Jean de Damas le concept de l'infinité comme mode d'être intrinsèque d'une nature infinie: « de même que l'océan ne serait l'océan sans l'immensité de sa masse, de même l'essence divine ne serait pas l'essence qu'elle est sans la magnitude qui est la sienne. »^[47] Dans la mesure où nous concevons un être infini actuel en entité, explique Scot, il se doit d'être pensé sous le mode d'une quantité infinie actuelle, c'est-à-dire qu'aucun autre ne saura le dépasser en entité. En cela, il « sera véritablement un tout, et un tout parfait »^[48].

L’infini dans la métaphysique et la théologie scotiennes

Dans la métaphysique de Jean Duns Scot, le concept d'infini est assimilé aux transcendantaux. Les transcendantaux, outre l'étant, sont des attributs qui peuvent être, chez le Docteur Subtil soit : des attributs disjonctifs (infini/fini, possible/nécessaire, en acte/en puissance, etc.) ; des attributs convertibles (l'un, le vrai, le bien…) qui sont directement coextensifs avec l'étant ; des perfectiones simpliciter (i.e. un prédicat qui n'admet pas de limite telle que l'intelligence divine par exemple)^[49].

Le couple d'attributs disjonctifs infini/fini permet d'établir une mesure de l'être, non plus au sens strictement quantitatif, mais plutôt au sens d'un degré d'excellence de l'être. Il s'agit d'une différence strictement modale – plutôt que formelle – entre les êtres : Dieu est sur le mode de l'infini, alors que l'homme est sur le mode de la finitude. Cette précision – qui ne s'inscrit pas seulement dans la métaphysique scotienne, mais aussi dans le cadre d'un argument théologique portant sur l'existence de Dieu infère que la différence entre un être fini et un être infini n'est pas une différence générique ce qui, au sein du raisonnement du Docteur Subtil, permet de sauvegarder la simplicité divine^[50].

En vertu de la théologie naturelle scotienne et, plus largement, de sa théorie cognitive, il est possible pour l’homme de connaître à l’aune de son expérience sensible. Ainsi, si la connaissance essentielle de Dieu n'est pas accessible ici-bas faute de pouvoir faire l'expérience de ce dernier, il est cependant possible de prédiquer à Dieu des attributs partagés avec lui (comme l'intelligence) en vertu de la théorie scotienne de la prédication univoque^[51]. Par exemple, s'il est possible de prédiquer l'intelligence à Marie, de même peut-on attribuer l'intelligence à Dieu, mais pas sous le même mode que celui de la créature finie. Pour Dieu, il s'agira d'une perfectiones simpliciter. Il s'agit du même concept d'intelligence, mais qui n'est pas donné sous le même mode chez la créature finie et chez Dieu, être infini.

De plus, la créature finie sera aussi en mesure de parvenir à la caractérisation la plus parfaite et la plus simple du Premier principe. Comme vu plus haut, on parvient précisément à cette caractérisation positive avec le concept d'infini, sous-tendant tous les attributs que l'on peut prédiquer à Dieu^[52]. Scot renverse ici l'infini en tant que concept négatif pour en faire un concept positif. En effet, on pourrait défendre la négativité du concept d'infini sur le plan étymologique par la présence du préfixe in qui implique une négation. Considéré comme tel, il serait alors contradictoire de parler de l'infini comme une caractérisation positive de Dieu. On peut analyser un tel renversement d'un point de vue logique en affirmant que, la finitude étant en soi concept impliquant une limite négative, l'ajout du préfixe in, la double négation fait naître (sur le plan logique et formel du moins) un concept positif. Cependant, pour Scot, la nature de la distinction du couple fini/infini est métaphysique et non formelle ou linguistique^[53]. Ainsi, défendre la positivité ou la négativité du concept à partir de la sphère de la logique ou, plus simplement, de l'étymologie est inutile dans l'optique scotienne ; il faut plutôt admettre sa positivité comme un présupposé métaphysique.

L’infini dans la pensée métaphysique de Descartes^[62],[63]

L'infini et l'indéfini

Rôle de la volonté

L'infini en acte

C’est avec Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 Leipzig - 1716) que l’actualité de l’infini sera pour la première fois objet d’une véritable analyse, étant donné que cette actualité est affirmée positivement. L’infini joue dans le système leibnizien un rôle fondamental quant à l’existence de toute chose. Cette affirmation s’oppose directement à la pensée aristotélicienne selon laquelle le concept d’infini ne peut être pensé que comme un possible. Selon Leibniz, l’infini en acte est la condition de possibilité de toute opération d’addition et de division, en tant que sa réalité est toujours déjà présupposée^[85].

Les cinq contextes de l'infini^[86]

L'infini quantitatif dans le calcul infinitésimal

Conceptuellement, la présence de la notion d’infini dans le calcul infinitésimal est problématique. L’utilisation des expressions « dx » et « dy », qui semble faire référence à une quantité infiniment petite de temps ou d’espace peut en effet être la source de confusion. Leibniz mentionne à cet égard que le calcul infinitésimal est autonome opératoirement quant à sa métaphysique, et que l’écriture infinitésimale possède une valeur strictement instrumentale. Le calcul infinitésimal peut donc être dit indépendant de la métaphysique leibnizienne du point de vue de son fonctionnement. L’infini mathématique, en tant qu’infini quantitatif, s'apparente davantage à un « faux infini », ou à un infini simplement possible ; les différentielles sont des grandeurs qui n’existent pas avant d’être instrumentalement posées^[91].

L'infini comme objet de science

Thèse

« Le monde a un commencement dans le temps […], relativement dans l’espace, contenu dans certaines limites. » : II serait, en effet, absurde d’admettre une série à la fois infinie et réalisée. La totalité des êtres ou des phénomènes forme un nombre qui dépasse notre imagination, mais qui est un nombre réel, et l’infini dépasse tous les nombres. Le passé contient un nombre d’êtres et de phénomènes auquel chaque instant ajoute. Il est contradictoire de nommer infini ce qui augmente ou peut augmenter. Le même raisonnement réfute l’éternité du passé : l’éternité est infinie, inaugmentable et chaque instant augmente le passé.

Antithèse

« Le monde n’a ni commencement ni limites spatiales mais il est infini […] à l’espace que par rapport au temps. » : Si le monde n’était éternel et sans mesure, il s’envelopperait donc d’un temps et d’un espace vides. Mais un temps vide ne renferme aucune cause, aucune condition, aucune possibilité de commencement, et rien n’aurait jamais pu commencer. Borner le monde dans le temps, c’est l’annihiler. Et un espace vide n’est rien. Dire qu’un espace vide limite le monde, dire que le monde est limité par rien, c’est dire tout ensemble que le monde est limité et qu’il n’est pas limité.

Un infini qualitatif

Le projet du système hégélien de la dialectique et de l’infini a pour ambition de dépasser les oppositions philosophiques de l’infinité de la substance objective chez Spinoza et de la finitude de l’entendement humain chez Kant. C’est à partir de la première antinomie cosmologique du fini et de l’infini dans la Critique de la raison pure que Hegel (1770 - 1831) forme sa conception du véritable infini. Pour Kant, tâchons de rappeler que l’absolu n’est jamais donné dans l’intuition, mais il est forgé de toutes pièces par l’esprit en tant que simple concept, comme idée transcendantale. Cette idée de l’infini joue le rôle de pure fiction pour l’homme, fiction utile comme le déclarait Leibniz, alors qu’elle devient une idée-limite, une projection trans-empirique, peut-être nécessaire comme outil de développement de la connaissance, mais n’ayant vraisemblablement aucune réalité ontologique^[94]. Selon Hegel, l’erreur de Kant aura été de ne concevoir qu’un infini quantitatif, puisque le concept d’éternité, comme progrès temporel interminable ne prend forme qu’en concevant une droite interminable ou encore une suite infinie de nombres naturels. Il en va de même pour l’infini spatial qui présuppose nécessairement une grandeur inexhaustible dans laquelle la finitude viendrait s’engouffrer ; encore une fois, l’argument est circulaire^[94]. Les catégories a priori de la sensibilité que sont le temps et l’espace chez Kant constituent la solution transcendantale au problème de la première antinomie, mais elles ne peuvent rendre compte pour Hegel de la dialectique interne de l’esprit seule apte à subsumer les antagonismes qu’il porte en son sein même^[94]. Si l’infini hégélien est dit qualitatif, c’est bien parce qu’il ne se résume pas dans l’énumération ou l’itération de séries de nombres ou dans la somme de ces séries, mais bien parce qu’il réside dans le rapport qu’elles entretiennent ensemble.

Une méthode à la fois analytique et synthétique

Les mathématiques ont pour Hegel, un caractère essentiellement analytique ; non seulement la valeur de vérité des équations mathématiques ne tient pas de l’expérience sensible, mais elle dérive toujours en quelque sorte de sa conformité avec un paradigme au sein duquel sont présupposées des lois et des définitions a priori (au sens kantien). En ce sens, pour Hegel, le procédé analytique représente, contrairement à Kant, « la pure immanence des déterminations à la totalité originelle présente sous la modalité de l’en-soi »^[95]. Autrement dit, ce n’est pas le nombre comme objet qui déploie de son essence les lois et mécanismes qui caractérisent son intériorité pure, mais elles sont insérées de l’extérieur par l’esprit et deviennent de sorte le miroir du fonctionnement de l’esprit humain et de son organisation intérieure. Ultimement, « l’objet, le nombre, n’est que la pensée, et la pensée abstraite de l’extériorité elle-même […] En raison de cette extériorité pure et de cette absence de détermination propre, le penser a dans le nombre une matière déterminable infinie qui n’oppose aucune résistance. »^[95]. La vérité pour Hegel, ou plutôt, le déploiement de la connaissance est toujours à la fois un procédé objectif et subjectif, une méthode à la fois analytique et synthétique. La connaissance mathématique partage donc ce caractère analytique avec la connaissance conceptuelle, toutefois, elle se différencie de cette dernière en n’étant qu’analytique, alors que la connaissance du concept est également un procédé synthétique. Pour Hegel, le véritable infini est dans la relation qualitative qui s’établit dans le rapport entre deux grandeurs quantitatives. Comme Leibniz l’avait remarqué avant lui, ce ne sont pas les quantités infiniment petites ou infiniment grandes qui sont importantes, mais leur différence qui est infinitésimale^[94]. Le passage de la quantité en qualité s’effectue à travers une relation dynamique engendrée par la raison qui résulte en une mesure, une proportion, ce qui pour Hegel signifie l’assimilation mutuelle du déterminant (qualité) et du déterminé (quantité).

Un rapport dynamique entre fini et infini

La conception de l’infini élaborée chez Hegel n’avait pas de prime abord des prétentions mathématiques ou pratiques, mais essentiellement métaphysiques et c'est bien en ce sens que sa vision de l’infini devenait celle de la dynamique du concept absolu. Ainsi il faut également prendre en considérations que pour Hegel - axiome fondamental de tout son système qu’il emprunte à Spinoza -, toute détermination est du même coup une négation et par conséquent, la négation de la négation reflète l’automouvement du concept absolu. En résulte que la finitude et l’infini ne sont pas liés de manière externe par opposition l’une à l’autre, mais entretiennent plutôt une relation dynamique internalisée, l’infini absorbe en lui la finitude comme un des moments de son perpétuel déploiement. « Pour Hegel, ce devenir processuel est un infini dynamique ou qualitatif, et sa figure est celle du cercle sans point initial et sans point final – et non pas l’image de la droite infinie ou de la suite illimitée des nombres naturels. »^[94]. Selon Hegel, l’histoire de l’être est un devenir perpétuel, « toute forme donnée est poussée à se dépasser, selon la nécessité d’une poussée, d’une pulsion, immanente, constitutive de la nécessité de sa transcendance. »^[96]. Le mécanisme inhérent à ce mouvement universel est la dialectique, « la loi de la pensée et du réel qui, progressant par négations successives, résout les contradictions en accédant à des synthèses elles-mêmes toujours partielles et appelées à être dépassées »^[97]. Une conception particulière est toujours en elle-même un système positif et cohérent et en ce sens, il contient en lui un fragment du concept absolu qu'il représente de manière incomplète. Une idée dépassée ne disparaît jamais totalement, elle est plutôt submergée dans un nouveau système au sein duquel le fragment de son absolutisme est ratifié et incorporé. La négativité qui est au cœur de la dialectique s’effectue toujours dans un rapport dont elle est le principe médiateur. En d’autres mots, c’est le négatif qui effectue le rapport structurel entre une intériorité idéelle et une extériorité manifeste. En ce sens, le négatif s’apparente à l’essence de la chose, la poussée directrice, le moteur ontologique de l’être. Ce travail du négatif, inscrit au cœur même du devenir, anime pour Hegel toute histoire particulière^[97]. Ce mouvement est pour Hegel un infini abstrait, un mécanisme universel à l’œuvre en toutes choses positives.

Finalement, ce qui est fini, par définition toujours en transition, est toujours en devenir, toujours appelé à être transcendé, dépassé vers l’infini. L’absolu contient donc en lui tous les moments de la finitude, l’absolu s’aliène lui-même à partir de lui-même pour finalement s’extérioriser comme esprit. L’infini chez Hegel est donc esprit absolu, idée absolue ou concept absolu, synonymes de la totalité du système de la philosophie. Si l’esprit ou l’idée est dite infinie chez Hegel, c’est que l’infinité est l’être de ce qui est sursumé et n’est que sursumé^[98].

L’infini dans les ensembles

La réflexion de Cantor le mène à fonder les mathématiques sur une théorie des ensembles plutôt que sur l’arithmétique^[99]. Il s’inspire ainsi de la démarche de Bolzano^[106] et de sa méthode de la correspondance biunivoque, ou bijection. Cantor considère donc les ensembles comme des objets ayant « une existence en soi indépendamment de nos moyens de l’atteindre »^[107] et seulement définis par leur contenu. Cantor travaillera essentiellement avec les ensembles infinis suivants :

• l'ensemble des nombres naturels N = {0, 1, 2, 3, ...} ;
• l'ensemble des nombres rationnels Q : les fractions, incluant les éléments de N ;
• l'ensemble des nombres réels R : Q, ainsi que les nombres avec une infinité de décimales irrégulières comme la racine carrée de 2, π ou e.

Les nombres réels intéresseront particulièrement Cantor puisqu’ils permettent de localiser n’importe quel point sur une droite, dans un plan, ou dans l'espace.

Dénombrement des ensembles : la cardinalité

Comme un ensemble se définit par ses éléments, il faut trouver une façon de les compter pour pouvoir les comparer. C’est ici qu’intervient la notion de cardinalité : le nombre cardinal d’un ensemble est le nombre d’éléments contenus dans cet ensemble^[108] ; ceci « faisant abstraction de la nature des éléments de l’ensemble »^[109]. Ainsi, dans l’ensemble {2, ..., 101}, la cardinalité est de 100. Dans le cas des nombres infinis, il faudra trouver une façon de les comptabiliser et de leur attribuer un cardinal. Cela sera possible en les comparant entre eux.

On peut ainsi chercher à comparer la cardinalité d'un ensemble avec celle de son ensemble des parties : il s'agit de l'ensemble des ensembles possibles, à l'intérieur d'un ensemble. Par exemple, si le cardinal de A = {1, 2, 3} est 3, celui de son ensemble des parties est 2³ = 8, car on peut former 8 ensembles à partir de A : {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}, ∅.

Comparaison des ensembles : la correspondance biunivoque

Dans les ensembles infinis

Une telle correspondance peut s’appliquer aux ensembles infinis. De ce fait, l’ensemble de tous les nombres naturels pairs peut être mis en association avec l’ensemble de tous les naturels par la fonction y = 2x, où x est un élément parmi l’ensemble N de tous les naturels et y un élément parmi l’ensemble N′ de tous les naturels pairs. La cardinalité de N et de N′ est donc la même, aussi contre-intuitif que cela puisse paraître.

Ainsi, à première vue, il semble y avoir davantage de réels que de rationnels, et de rationnels que de naturels^[111] ; or, Cantor montre que les rationnels Q et les naturels N peuvent être mis en correspondance biunivoque, et donc qu’ils possèdent le même nombre d’éléments. Cela permettra en fait de ranger les nombres rationnels (considérés comme fractions) de la façon suivante : Q⁺ = {1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 3/2, 2/3, 4/1, 1/4, ...} (les fractions négatives ne sont pas incluses ici pour faciliter la compréhension). On remarquera que, dans la suite, les fractions réductibles, et donc répétitives, ont été retirées (2/4 = 1/2, par exemple). Comme les nombres rationnels sont placés dans un ordre qui les réunira tous sans exception, on peut dire qu’ils sont dénombrables, c’est-à-dire qu’on peut associer un nombre n à chacun d’eux. De manière plus générale, on voit que tout ensemble dénombrable infini a la même cardinalité, et donc le même nombre d’éléments que les naturels.

Les comparaisons entre N et N′ ou entre Q et N reviennent à envisager une partie comme aussi grande que le tout ; ce qui va à l’encontre de ce que les philosophes ont toujours considéré comme une règle fondamentale^[112]. Cette apparente transgression chez Cantor devient finalement la définition d’un ensemble infini : la cardinalité d’un ensemble est infinie si et seulement si une ou plusieurs de ses parties est égale à son tout^{[note 3]}.

Or, tous les ensembles infinis n’ont pas la même cardinalité comme le montre l’argument de la diagonale, démonstration de l’impossibilité de dresser une bijection entre N et R, et donc que ${\displaystyle {\aleph _{0}}<2^{\aleph _{0}}}$, c'est-à-dire que la cardinalité des réels est strictement supérieure à celle des nombres naturels. En effet, l’ensemble R des réels n’est pas dénombrable, et Cantor nommera sa cardinalité : puissance du continu. L’ensemble des réels est un ensemble continu (par opposition à discret) puisqu’il regroupe tous les points d’une droite, d’un plan ou d’un graphique, sans « trous ».

Les nombres transfinis

Le rejet des infinitésimaux

Malgré sa concession pour l’utilité de l’infiniment petit dans le calcul infinitésimal, Cantor s’oppose à ce que l’infiniment petit soit un véritable infini (en acte), autrement dit, qu’il soit un objet mathématique à part entière, et il le définira plutôt comme un « mode de variabilité »^[117] ou un infini simplement potentiel. Il dira qu’il s’agit d’un infini « improprement dit »^[99], dont la grandeur est variable, décroissante à volonté, mais toujours finie comme l’est n’importe quel nombre irrationnel (ce n’est pas parce qu’un nombre en particulier a un nombre infini de décimales sans règle qu’il est lui-même infini). Dans le Mitteilungen, Cantor souhaite montrer formellement la contradiction intrinsèque des infinitésimaux, mais il ne fait que réitérer finalement l’axiome d’Archimède (à partir de a et b où a < b, où a et b sont des nombres réels positifs, et où il existe un c tel que a×c > b)^[118]. Cantor rejettera donc les théories de Du Bois-Reymond et de Thomae Stolz, ainsi que celle de Veronese, car elles échouent toujours à montrer à quel ensemble peuvent référer les infinitésimaux (ou de quels ensembles ils sont obtenus). Si les infinitésimaux étaient des nombres, ils devraient être constitutifs d’un ensemble, et ce dernier serait plus continu que l’ensemble des réels^[119](lui-même « puissance du continu »).

L’infini absolu : un fondement théologique

Abordée dans le Mitteilungen, la question de l’infini absolu de Dieu est pour Cantor d’une importance capitale^[120]. Même si elle concerne plus directement la théologie spéculative, elle sert tout de même de fondement à la théorie des transfinis^[121]. C’est une sorte de révélation mystique pour Cantor : « il Lui a plu que je parvienne aux révélations les plus étonnantes et les plus inattendues dans la théorie des ensembles »^[122], écrit-il à propos de ce qu’il considère comme un véritable infini, comme un maximum absolu. Les nombres transfinis sont accessibles à l’homme, mais leur ensemble, c’est-à-dire le système de tous les nombres « Ω »^[123], est incompréhensible.

Comment concilier la diversité mathématique des infinis (aleph 0, 1, la puissance du continu, etc.) avec l’unicité de l’infinitude absolue de Dieu ? Pour Cantor, c’est ce dernier qui garantit l’existence des transfinis, car a priori, ils devraient normalement découler de la nature infinie de Dieu, et qu’a posteriori, ils permettent une explication d’un plus grand éventail de phénomènes. Malgré tout, il semble que la théorie cantorienne sur les transfinis puisse se passer de l’hypothèse de Dieu^[122].

Le projet logiciste

Le projet logiciste consiste à démontrer logiquement les concepts et les propositions mathématiques. En 1889, Peano développe une axiomatique de la théorie des nombres réduisant ainsi les mathématiques à l’arithmétique. Pour que Russell puisse démontrer la réductibilité des mathématiques à la logique pure, tout ce qu’il a à faire, c’est donc de réduire les axiomes de Peano à la logique^[124]. Pour ce faire, il mobilise les outils conceptuels de Cantor en mathématique et de Frege en logique. Toutefois, ce projet s’avère être un échec car Russell n’arrive pas à démontrer logiquement l’existence d’une classe infinie d’objets et se voit dès lors obligé de postuler l'infinité d'objets qui la rend possible.

Le fondement philosophique de l’infini mathématique

Zénon affirme que l’espace et le temps sont indivisibles en points et en instants dans les contextes fini et infini. Selon Russell, si l’espace et le temps consistent en un nombre fini de points et d’instants, alors les arguments de Zénon contre la thèse que l’espace et le temps sont composés de points et d’instants sont tout à fait valables^[132]. En mathématique, le calcul infinitésimal est l’outil fondamental de l’étude des corps en mouvement dans l’espace en fonction du temps. Or, le calcul infinitésimal présuppose que l’espace et le temps ont une structure en points et en instants. Au sens de Zénon, le calcul infinitésimal est donc logiquement infondé. Or, Russell montre que si l’espace et le temps consistent en un nombre infini de points et d’instants, alors les paradoxes de Zénon n’ébranlent plus les mathématiques à cet égard^[132]. Le présupposé essentiel du calcul infinitésimal conserve ainsi sa légitimité philosophique. Russell souligne cependant que la tradition a longtemps négligé la thèse selon laquelle le monde est composé d’un nombre infini de points et d’instants à cause des contradictions qu’impliquait une notion naïve de l’infini.

La critique de la notion kantienne de l’infini

Pour illustrer les effets d’une conception erronée de l’infini, Russell analyse les deux premières antinomies de la raison pure de Kant sur l’idée régulatrice de monde^[133].

Le rejet des infinitésimaux

Comme le suggère Leibniz, un infinitésimal serait une quantité d’espace ou de temps si petite qu’il n’en existerait pas une inférieure de sorte qu’il serait impossible de la diviser en deux quantités finies. Or, Russell rejette la possibilité en mathématique de manipuler des quantités infinitésimales, à savoir des quantités telles que « toute distance finie quelconque lui soit supérieure »^[136]. Selon Russell, l’erreur d’imagination menant à la croyance des infinitésimaux consiste à penser que, à la fin de l’opération de découpage en deux de l’espace et du temps, les distances et les périodes ne soient plus divisibles en quantités finies. De là, il existerait des quantités infiniment petites manipulables en mathématique. Or, Russell rappelle que la divisibilité infinie ne permet pas de conclure à l’existence d’un dernier terme dans une opération qui par définition est sans fin^[137].

Russell explicite en ce sens l’erreur logique consistant à interpréter l’énoncé vrai « pour toute distance finie^{[note 4]}, il y a une distance inférieure » par l’énoncé faux « il y a une distance telle que, quelque distance finie que nous puissions choisir, la distance en question est inférieure »^[137]. Du point de vue de la logique formelle, il s’agit là d’une inversion des quantificateurs universel et existentiel opérant dans la proposition. En effet, la proposition fausse veut faire dire « il existe une distance plus petite que toute distance finie », l’infinitésimal, alors que la proposition vraie veut dire « pour toutes distances, il existe une distance finie plus petite », ce qui implique l’impossibilité de l’infinitésimal. Par la méthode analytico-logique, Russell parvient donc à mettre de l’ordre dans la compréhension des infinitésimaux en vue de rejeter leur nécessité pour opérationnaliser le calcul infinitésimal.

Théorie des ensembles

L'un des objectifs de la théorie de Cantor est de donner un sens précis à la phrase « l'ensemble E contient un nombre infini d'éléments », et permettant en particulier de différencier plusieurs infinis différents (infini dénombrable, infini du continu, etc.). Comme cela a été exposé dans la partie historique, les conceptions de Cantor se sont heurtées, d'une part aux objections de certains mathématiciens, en particulier Kronecker, refusant l'« infini actuel », d'autre part aux contradictions bien réelles créées par une vision trop naïve de la théorie, en particulier par l'« ensemble de tous les ensembles ». La solution à ces antinomies, et à la crise des fondements qui en résultait, fut apportée par diverses axiomatiques (le plus souvent équivalentes entre elles), dont la plus utilisée est celle de Zermelo-Fraenkel, dite ZF. Pour ces axiomatiques, il existe évidemment (au sens intuitif) des « collections d'objets » infinies (par exemple la collection de tous les entiers) ; l'axiome de l'infini affirme alors que l'une de ces collections au moins est un ensemble (et donc un objet légal de la théorie, contrairement à la collection de tous les ensembles), ce qui revient à affirmer l'existence de l'infini actuel. La hiérarchie d'infinis découverte par Cantor devient alors une simple conséquence de la théorie, et l'existence de cardinaux distincts ne présente plus de difficulté de principe ; cependant la question de leur taille exacte fait depuis cette époque l'objet d'intenses recherches, portant en particulier sur l'hypothèse du continu et sur les conséquences de l'existence de certains grands cardinaux. La définition précise d'un « ensemble de taille infinie » s'avère toutefois dépendre de l'axiome du choix : en sa présence (c'est-à-dire dans la théorie ZFC), toutes ces définitions sont équivalentes, mais sinon, il est par exemple possible de construire des ensembles infinis ne contenant aucune suite dénombrable d'objets distincts (ensembles dits finis au sens de Dedekind). Enfin, cette théorie permet un véritable « calcul avec l'infini », que ce soit avec les nombres cardinaux mesurant la taille des ensembles, ou avec les nombres ordinaux, plus précis, et décrivant, en un certain sens, une façon de « compter » les éléments des ensembles étudiés.

Analyse

Le sens à donner à l'infini (infiniment grand ou infiniment petit) en analyse a amené aux querelles philosophiques du XVII^e siècle^[138], puis, après d'impressionnants succès initiaux, à de sérieuses difficultés mathématiques, liées en particulier à l'impossibilité de construire un système rigoureux d'infinitésimaux. Le travail de refondation de Cauchy et Weierstrass dans la première moitié du XIX^e siècle devait amener à remplacer partout des phrases telles que « la dérivée de f en zéro est infiniment proche du quotient ${\displaystyle f(h)-f(0) \over h}$ lorsque h est infiniment petit » par ${\displaystyle f'(0)=\lim _{h\to 0}{f(h)-f(0) \over h}}$, la notion de limite recevant elle-même une définition parfaitement rigoureuse, et ne faisant plus intervenir que des nombres ordinaires ; dans ce contexte, le symbole ${\displaystyle \infty }$ dans des notations telles que ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{4x^{2}+x \over 2x^{2}-1}=2}$ n'est plus qu'une abréviation. Avec ce choix, les infinis apparaissant en analyse ne sont que des infinis potentiels, ce que montrent bien les définitions classiques de Weierstrass, avec lesquelles la formule précédente se lit « l'expression ${\displaystyle {4x^{2}+x \over 2x^{2}-1}}$ peut être rendue aussi proche que l'on veut de 2 en prenant x suffisamment grand ».

Un point de vue plus moderne (mais mathématiquement strictement équivalent) consiste à rajouter aux ensembles de nombres étudiés de nouveaux éléments (comme pour la construction des nombres complexes), obtenant par exemple la droite réelle achevée ℝ ${\displaystyle =[-\infty ,+\infty ]}$ ; les nouveaux objets ${\displaystyle -\infty }$ et ${\displaystyle +\infty }$ sont munis de règles de calcul, telles que ${\displaystyle +\infty /2=+\infty }$, qui reflètent le calcul élémentaire sur les limites.

Des tentatives de redonner un sens aux infinitésimaux et à différents « ordres d'infinis » (pour pouvoir, par exemple, exprimer que le carré de l'infini est beaucoup plus grand que l'infini) ont été effectuées par du Bois-Reymond, Hardy et Landau ; elles consistent à introduire des fonctions de référence (les échelles de comparaison) et à dire par exemple qu'une quantité varie dans certaines conditions comme un infiniment petit de tel ou tel ordre si elle est équivalente à une des fonctions de l'échelle, elle-même très petite dans les mêmes conditions. Mais ces définitions, bien qu'utiles en pratique, souffrent d'un certain arbitraire, et sont par ailleurs nécessairement incomplètes (il existe toujours des fonctions situées en dehors d'une échelle donnée).

Analyse non standard et nombres surréels

Les progrès de la logique mathématique dans la première moitié du XX^e siècle ont amené divers théoriciens (Hewitt, Robinson et Nelson en particulier) à envisager de reconstruire une théorie rigoureuse des infinitésimaux en s'appuyant sur la théorie des modèles. Dans cette approche, on construit par exemple un modèle des nombres réels « non standard », qui contient tous les réels ordinaires (comme ${\displaystyle \pi }$ ou ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) mais aussi de nouveaux nombres, nécessairement « infiniment grands » ou « infiniment proches » des anciens ; les résultats de la théorie garantissent que ces nouveaux réels ont toutes les propriétés des anciens (les paradoxes apparents, comme celui du plus petit entier non standard, qui avaient amené l'abandon de ces conceptions au XIX^e siècle, se résolvant par l'impossibilité d'exprimer certaines propriétés dans le langage précis utilisé).

L'intérêt principal de l'analyse non standard est de redonner un sens précis à de nombreuses formulations anciennes des concepts du calcul infinitésimal (dérivées, intégrales, sommes de séries, produits infinis, etc.), plus intuitives que l'approche moderne par calcul de limites, mais tombées en disgrâce car utilisant des notions d'infini non définies : ainsi, la définition de l'intégrale de Riemann devient simplement « le réel standard le plus proche d'une somme de Riemann ayant un pas infiniment petit ».

Une toute autre approche utilise les nombres surréels découverts par John Horton Conway : il s'agit d'une vaste extension des nombres réels à l'aide d'une ingénieuse application de la méthode des coupures de Dedekind, introduisant des nombres infinis tels que les ordinaux (avec ses notations, on a ${\displaystyle \omega =\left\{\left\{0,1,2,3,\cdots \right\}|\right\}=\left\{\mathbb {N} |\right\}}$) et permettant ensuite de calculer avec ces nombres comme avec des réels ordinaires, définissant ainsi des infiniment petits tels que ${\displaystyle \epsilon =\left\{0|\left\{1,{1 \over 2},{1 \over 3},\cdots \right\}\right\}=1/\omega }$, mais aussi des objets bien plus surprenants tels que ${\displaystyle \omega ^{1/\omega }}$, qui est infiniment grand, mais beaucoup plus petit que ${\displaystyle {\sqrt {\omega }}}$, par exemple. Il ne semble cependant pas que cette extension, en dépit de sa richesse, permette d'aborder des questions d'analyse non élémentaires.

Géométrie et topologie

La notion de point à l'infini, apparue avec le développement de la géométrie projective (elle-même développée en relation avec l'invention de la perspective géométrique), et ayant pour but de modéliser la phrase bien connue selon laquelle « les parallèles se coupent à l'infini », est désormais formalisée en géométrie par la construction des espaces projectifs.