دالة الجيب العكسية

في الرياضيات، دالة قوس الجيب ^[1] (Arcsine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة الجيب، مستقرها هو ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب الخاص به يرمز لها بـ arcsin أو sin ^-1. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الجيب المثلثية المقتصرة إلى المجال ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الجيب المقتصرة إلى المجال ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

مشتق

دالة الجيب العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:

${\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:${\displaystyle (\arcsin x)'={d \over dx}\arcsin x}$

نضع ${\displaystyle \theta =\arcsin x}$:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta \cos \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

إذا كانت ${\displaystyle |z|\leq 1}$،

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&=z+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {z^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {z^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle (n)!!}$ هو عاملي ثنائي.

الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :

 ${\displaystyle \arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}$

المشتق العكسي

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة :

${\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

من أجل كل عدد حقيقي x محصور بين –1 و 1 : ${\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}$

على المستوي المركب

الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام اللوغاريتم العقدي:

${\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}$

تمثيل الدالة العقدية

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• دالة جيب التمام العكسية
• دالة الظل العكسية

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي
• موسوعة هندسة رياضية