تبديل (رياضيات)

كل من الصفوف السته تمثل تبديلات مختلفة لثلاث كور مختلفة.

في الرياضيات، تبديلة (جمع تبديلات)^[1] أو تبديل (Permutation)‏ هي عملية ترتيب عناصر مجموعة في متسلسلة أو بترتيب معين. إذا كانت العناصر مرتبة، فعملية إعادة ترتيب عناصرها تسمى تبديلا. تختلف التبديلات عن التوافيق والتي تعرف بأنها مختارات لعناصر من مجموعة ما بدون اعتبار الترتيب. على سبيل المثال: يوجد ${\displaystyle 6}$ تبديلات للمجموعة ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ وهي كالآتي:

${\displaystyle (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}$. هذه هي جميع الترتيبات الممكنة لمجموعة من ${\displaystyle 3}$ عناصر. قلب كلمات لها حروف مختلفة أيضا تشكل نوع من التبديلات. فأي حروف في أي كلمة مرتبة بترتيب معين لكن قلب أو اعادة ترتيب الحروف يعتبر تبديلا. دراسة تبديلات المجموعات المنتهية موضوع مهم في مجال التوافقيات ونظرية الزمر.

تُدرس التبديلات في أغلب فروع الرياضيات وفي مجالات عديدة في العلوم. يتم استخدام التبديلات في علوم الحاسب لتحليل ترتيب خوارزمية وميكانيكا الكم وأيضا في الأحياء.

عدد التبديلات التي يمكن أن تخضع لها مجموعة عدد عناصرها هو ${\displaystyle n}$ يساوي مضروب ${\displaystyle n}$ ،والذي يكتب بالصيغة ${\displaystyle n!}$. مضروب ${\displaystyle n}$ هو عملية ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو يساوي ${\displaystyle n}$ .

في الجبر وبالتحديد في نظرية الزمر، تبديل المجموعة ${\displaystyle S}$هو تقابل من المجموعة ${\displaystyle S}$ لنفسها^{[2] [3]}. والمقصود بالتقابل هو دالة من ${\displaystyle S}$ إلى ${\displaystyle S}$ حيث يوجد صورة واحدة لكل عنصر. وهـذا مرتبط بإعادة ترتيب عناصر ${\displaystyle S}$ حيث يستبدل كل عنصر ${\displaystyle s}$ بالصورة المقابلة له ${\displaystyle f(s)}$. فعلى سبيل المثال، ممكن كتابة التبديلة ${\displaystyle (3,1,2)}$ المذكورة اعلاه بالدالة ${\displaystyle \alpha }$ المعرفة كالتالي:

${\displaystyle \alpha (1)=3,\alpha (2)=1,\alpha (3)=2}$.

تشكل مجموعة جميع التبديلات الممكنة لمجموعة ما زمرة تُدعى زمرة تبديلات. المهم في هذه الزمرة هو أن عملية تحصيل أي تبديلتين ينتج عنها تبديلة جديدة. ممكن أن تُشكل أي تبديلة لمجموعة عناصر بإحدى طريقتين: إما بترتيب مركباته أو بإستخدام اسلوب التعويض لأحد الرموز. بالغالب نستخدم المجموعة ${\displaystyle S=N_{n}=\{1,2,\ldots ,n\}}$ لكن لايوجد أيضا مانع لإستخدام أي مجموعة.

في إطار التركيبات الابتدائية، يُستخدم مصطلحي التبديلات الجزئية وتبديلات لـ ${\displaystyle k}$ (k-permutations) والتي تعني بترتيب عدد ${\displaystyle k}$من العناصر المختلفة المختارة من مجموعة ما. وعندما تكون ( partial permutations ) تساوي عدد عناصر المجموعة فإن هذين التبديلين يعتبر تبديلات للمجموعة ككل.

التاريخ

الخليل بن أحمد الفراهيدي وهو عالم رياضيات عربي، كتب كتابا حول تشفير الرسائل. يحتوي الكتاب على أول استعمال للتبديلات من أجل سرد جميع الكلمات العربية بحروف العلة وبدونهن.

كانت القاعدة التي تمكن من حساب عدد التبديلات لمجموعة ما، معروفة لدى الهنديين على الأقل في حوالي عام 1150م.

تعريف

في مناهج الرياضيات، تُستخدم الحروف اليونانية الصغيرة رموزا للتبديلات. وأكثر هذه الرموز استخداما هي الحروف ${\displaystyle \alpha }$ و ${\displaystyle \beta }$ و ${\displaystyle \sigma }$ و ${\displaystyle \tau }$ و ${\displaystyle \pi }$.

يمكن تعريف التبديلات تقابلاتٍ من مجموعة ${\displaystyle S}$ نحو نفسها. كل التبديلات على مجموعة بها ${\displaystyle n}$ من العناصر تمثل زمرة متماثلة ويرمز لها بالرمز ${\displaystyle S_{n}}$ ، حيث أن عملية الزمرة هنا هي عملية تركيب الدوال. فبالتالي لأي تبديلين ${\displaystyle \pi }$ و ${\displaystyle \sigma }$ من الزمرة ${\displaystyle S_{n}}$ فإن خواص الزمرة الأربع متحققة وهي كما يلي:

1. الانغلاق: فإذا كان ${\displaystyle \pi }$ و ${\displaystyle \sigma }$ عناصر في ${\displaystyle S_{n}}$ فإن ${\displaystyle \pi \sigma }$ أيضا ينتمي لـ ${\displaystyle S_{n}}$.
2. التجميع: لأي ثلاث تبديلات ${\displaystyle \pi \,,\sigma \,,\tau \in S_{n}}$ فإن ${\displaystyle (\pi \sigma )\tau =\pi (\sigma \tau )}$.
3. عنصر محايد: يوجد تبديلة وحدة يرمز لها بالرمز ${\displaystyle \mathbb {id} }$ والمعرفة كما يلي ${\displaystyle \mathbb {id} (x)=x}$ لكل ${\displaystyle x\in S}$. بالتالي لأي ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ فإن ${\displaystyle \mathbb {id} \,\sigma =\sigma \,\mathbb {id} =\sigma }$.
4. المعكوس: لكل تبديلة ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$ يوجد ${\displaystyle \pi ^{-1}\in S_{n}}$ والتي تحقق ${\displaystyle \pi \pi ^{-1}=\pi ^{-1}\pi =\mathbb {id} }$.

بشكل عام فإن تحصيل أي تبديلتين ${\displaystyle \pi ,\sigma \in S_{n}}$هي عملية ليست دائما إبدالية ، أي أن ${\displaystyle \pi \sigma \neq \sigma \pi }$ .

مثال

يراد سحب كرتين على التوالي من صندوق أسود يحوي أربع كرات ملونة سوداء وزرقاء وحمراء وصفراء. المطلوب حساب عدد الاحتمالات الممكنة لنتيجة السحب.

كون السحب يتم على التتالي فان هناك أهمية للترتيب لأنه إذا كانت الكرة الأولى على سبيل المثال سوداء والثانية حمراء هذه النتيجة تختلف عن الحالة التي يكون فيها الكرة الأولى حمراء والثانية سوداء. بتطبيق القانون نحصل على عدد الاحتمالات الممكنة ت(2,4)=4!\(4-2)!=4×3×2×1 /2×1 = 12 احتمال ممكن و هي بالتفصيل كالتالي: (سوداء، حمراء) (حمراء، سوداء) (زرقاء، سوداء) (صفراء، سوداء) (سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، حمراء) (صفراء، حمراء) (سوداء، صفراء) (حمراء، صفراء) (زرقاء، صفراء) (صفراء، زرقاء).

طريقة كتابة التبديلة والرموز المستعملة

يوجد عدة طرق لكتابة التبديله. وأكثرها إستخداما هو الترميز الدائري والذي يستخدم بكثرة بين الرياضيين لوضوح صياغة التبديلة فيه.

الترميز بإستخدام صفين

يستخدم رمزكوشي ^[4]صفين بحيث يتم وضع عناصر المجموعة بالصف الأول بينما صور كل من هذه العناصر توضح مباشرة اسفله بالصف السفلي. فمثلا، التبديلة للمجموعة ${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5\}}$ يمكن كتابتها كما يلي: ${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}};}$

وهذا يعني أن σ تحقق ما يلي: σ(1)=2 و σ(2)=5 و σ(3)=4 و σ(4)=3 و σ(5)=1. تظهر عناصر المجموعة ${\displaystyle S}$ بأي ترتيب في الصف الأول. فبالتالي يمكن كتابة هذه التبديلة بطريقة اخرى كالتالي

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}3&2&5&1&4\\4&5&1&2&3\end{pmatrix}}}$.

الترميز بإستخدام صف واحد

في حالة وجود ترتيب طبيعي لعناصر المجموعة ${\displaystyle S}$ ^[a]ولتكن ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ فإنه يمكن وضعها بالصف الأول من الترميز بصفين بشكل عام كالتالي:

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}\\\sigma (x_{1})&\sigma (x_{2})&\sigma (x_{3})&\ldots &\sigma (x_{n})\end{pmatrix}}}$.

وبما أن عناصر المجموعة ${\displaystyle S}$ تتخذ ترتيبا طبيعيا فإنه من الممكن حذف الصف الأول واستخدام التبديلة بترميز صف واحد كما يلي

${\displaystyle (\sigma (x_{1})\,\,\sigma (x_{2})\,\,\sigma (x_{3})\,\,\ldots \sigma (x_{n}))}$

كما في ترتيب عناصر المجموعة ${\displaystyle S}$.^[5][6] يجب التفريق هنا بين الترميز بصف والترميز الدائري الذي سيوضح بالأسفل. فمن الشائع بالدراسات الرياضية حذف الأقواس بترميز بصف واحد بينما تستخدم الأقواس في الترميز الدائري. يسمى أيضا الترميز بصف واحد بممثل الكلمة ( word) في أي تبديلة.^[7] ففي المثال السابق يمكن كتابة التبديلة بالشكل ${\displaystyle 2\,\,5\,\,4\,\,3\,\,1}$ حيث أن ${\displaystyle 1\,\,2\,\,3\,\,4\,\,5}$ تشكل ترتيب طبيعي للصف الأول. يستخدم هذا الرمز بالتراكيب وعلوم الحاسب خصوصا بالتطبيقات التي بها عناصر ${\displaystyle S}$ أو التبديلات كبيرة أو صغيرة نوعا ما.

الترميز الدائري

يمكن وصف الترميز الدائري بالتأثير المكرر للتبديلة على عناصر المجموعة. فهي تبين التبديلة كحاصل ضرب دوائر. وحيث أن هذه الدوائر منفصلة فإنها توصف بـ "decomposition into disjoint cycles".^[b]

لكتابة التبديلة ${\displaystyle \sigma }$ بالترميز الدائري فإننا نتبع الخطوات التالية:

1. نبدأ بكتابة قوس مفتوح ونختار أي عنصر ${\displaystyle x}$ من المجموعة ${\displaystyle S}$ ونكتبه كأول عنصر: ${\displaystyle (x}$
2. بعد ذلك نتابع التأثير المتتابع للتبديلة عالعنصر السابق ونكتبه كما يلي: ${\displaystyle (x\quad \sigma (x)\quad \sigma (\sigma (x))\ldots }$
3. نكرر هذه الخطوات حتى الوصول لنفس العنصر الذي بدأنا به ${\displaystyle x}$ بالتالي نغلق الأقواس بدون تكرار كتابة ${\displaystyle x}$ : ${\displaystyle {\displaystyle (x\quad \sigma (x)\quad \sigma (\sigma (x))\ldots })}$
4. لنواصل الآن باختيار عنصر آخر${\displaystyle y\in S}$ لم يسبق كتابته بالدائرة الأولى ونكرر نفس الخطوات هنا مع هذا العنصر: ${\displaystyle (x\quad \sigma (x)\quad \sigma (\sigma (x))\ldots )(y\ldots }$
5. نكرر هذه الخطوات حتى يتم كتابة جميع عناصر${\displaystyle S}$ بالدوائر.

حيث أن كل دائرة جديدة تبدأ باختيار عنصر عشوائي من ${\displaystyle S}$ فإنه يوجد طرق مختلفة لكتابة تبديلة ما بالترميز الدائري، ففي نفس المثال المذكور سابقا يمكن كتابة التبديلة كالتالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&1&2\end{pmatrix}}.}$

نلاحظ أيضا انه يتم حذف الدائرة التي بها عنصر واحد والتي يكون واضحا دون الحاجة لكتابته، فأي عنصر ${\displaystyle x}$ لايظهر بأي دائرة بالترميز الدائري فهذا يعني أن ${\displaystyle \sigma (x)=x}$.^[8] في تبديلة الوحدة والتي تتكون من دوائر بعنصر واحد يمكن كتابتها بدائرة واحدة بعنصر واحد ${\displaystyle (x)}$ ^[c]، العنصر رقم أو بواسطة الرمز ${\displaystyle \mathbb {id} }$^{[9] [10]} .

من ضمن مميزات استخدام الترميز الدائري فإنه يسهل كتابة معكوس أي تبديلة بشكل أسهل بواسطة عكس ترتيب عناصر التبديلة بكل دوائره. فعلى سبيل المثال:

${\displaystyle [(\,1\,2\,5\,)(\,3\,4\,)]^{-1}=(\,5\,2\,1\,)(\,4\,3\,)}$ .

الترميز الدائري التدريجي( Canonical cycle notation)

في بعض الكتابات المختصة بالتراكيب فإنه من المهم استخدام ترتيب ثابت لعناصر أي دائرة بالترميز الدائري. فوضح الباحث Miklós Bóna أنه يوجد نوعين من الترتيب في الترميز الدائري التدريجي وهما:

• بكل دائرة يتم البدء بأكبر عنصر بالمجموعة ${\displaystyle S}$ بأول دائرة.
• ترتب الدوائر بشكل متزايد بالنسبة لأول عنصر بكل منها.

فعلى سبيل المثال التبديلة بالشكل ${\displaystyle (3\,\,1\,\,2)(5\,\,4)(8)(9\,\,7\,\,6)}$ هي بالرمز الدائري التدريجي.^[11] بهذا الترميز لايتم حذف الدوائر ذوات العنصر الواحد. استخدم العالم Sergey Kitaev نفس المفهوم لكن بشكل عكسي حيث يتم ترتيب الدوائر بالبدء بالدائرة ذات العنصر الأصغر وترتيب بقية الدوائر بشكل متناقص حسب العنصر الأول بكل دائرة.^[12]

تركيب التبديلات

توجد طريقتان لكتابة تركيب أي تبديلتين. يستخدم الرمز لتمثيل دالة تطبق من أي عنصر${\displaystyle x\in S}$ إلى العنصر ${\displaystyle \sigma (\pi (x))}$. فالتبديلة التي بالطرف الأيمن تطبق أولا على العنصر ^[13]. وحيث أن عملية تحصيل الدوال هي عملية تجميعية فإن عملية تحصيل التبديلات هي أيضا تجميعية أي أن: ${\displaystyle (\sigma \pi )\tau =\tau (\sigma \pi )}$. فبالتالي يمكن إيجاد تحصيل أي أكثر من تبديلتين بإستخدام خاصية التجميع والاستعانة بالأقواس. من الممكن أيضا كتابة تحصيل التبديلات بدون نقطة بينهم أو أي علامة لتوضيح عملية التحصيل.

يفضل بعض الباحثين تطبيق تأثير التبديلة التي بالطرق الأيسر أولا^[14][15][16] ، لكن في هذه الحالة تُكتب عملية التحصيل بشكل أسس فمثلا لتمثيل تأثير ${\displaystyle \sigma }$ على ${\displaystyle x}$ يكتب بالشكل ${\displaystyle x^{\sigma }}$، والتحصيل بهذه الحالة يكتب بالشكل ${\displaystyle x^{\sigma \pi }=(x^{\sigma })^{\pi }}$. لكن هذا التحصيل يعطي نتيجة مختلفة عن التحصيل المعرف سابقا والذي يطبق التبديلة اليمنى أولا.

استخدامات اخرى لمصطلح تبديل

خصائص

تبديلات لمجموعات مرتبة كليا

تبديلات في الحساب

تطبيقات

مقالات ذات صلة

الملاحظات

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات