طول قوس

عند تصحيحه، يمنح المنحنى خطًا مستقيمًا بطول نفس طول قوس المنحنى.

طول القوس s للولب لوغاريتمي كدالة لوسيطِه θ، بتعبير آخر: s=f(θ).

طول القوس هو المسافة بين نقطتين على طول مقطع من المنحنى.^[1][2][3] يسمى تحديد طول مقطع القوس غير المنتظم أيضًا تصحيح المنحنى. أدى ظهور حساب التفاضل والتكامل إلى صيغة عامة توفر حلولاً منغلقة الشكل في بعض الحالات.

ايجاد أطوال قوس باستخدام التكامل

ربع دائرة

إذا كان منحنى مستو في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ معرف بواسطة المعادلة ${\displaystyle y=f(x)}$، حيث ${\displaystyle f}$ قابل للتفاضل باستمرار، فهي ببساطة حالة خاصة لمعادلة وسيطية حيث ${\displaystyle x=t}$ و ${\displaystyle y=f(t)}$. ثم يُعطى طول القوس بواسطة:

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.}$

تشمل المنحنيات التي تحتوي على حلول منغلقة الشكل لطول القوس، سلسلي، دائرة، دويري، لولب لوغاريتمي، قطع مكافئ، قطع مكافئ شبه تكعيبي وخط مستقيم. أدى عدم وجود حل منغلق الشكل لطول الأقواس الإهليلجية والزائدية إلى تطوير التكاملات الإهليلجية.

التكامل العددي

في معظم الحالات، بما في ذلك المنحنيات البسيطة، لا توجد حلول منغلقة الشكل لطول القوس والتكامل العددي ضروري. التكامل العددي للتكامل طول القوس عادة ما تكون فعالة جدا. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك مشكلة البحث عن طول ربع دائرة الوحدة من خلال التكامل العددي لطول القوس. النصف العلوي لدائرة الوحدة يمكن أن تكون معلمة كـ ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$. يتوافق المجال ${\displaystyle x\in [-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2]}$ مع ربع الدائرة. بما أن${\displaystyle dy/dx=-x/{\sqrt {1-x^{2}}}}$ و ${\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1/(1-x^{2})}$، فإن طول ربع دائرة الوحدة هو

${\displaystyle \int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}$

يختلف تقدير قاعدة غاوس-كرونرود ذو 15 نقطة لهذا التكامل البالغ 1.570796326808177 عن الطول الحقيقي لـ:

${\displaystyle {\Big [}\arcsin x{\Big ]}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}$

بمقدار 1.3×10⁻¹¹ وتقدير قاعدة التربيع الغاوسي ذو 16 نقطة والذي يبلغ 1.570796326794727 يختلف عن الطول الحقيقي بمقدار 1.7×10⁻¹³.

مقالات ذات صلة

• قوس (هندسة)
• محيط منحنى مغلق
• جيوديسي
• تقريبيات تكاملية
• تكامل خطي
• حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

المراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة هندسة رياضية
• موسوعة تحليل رياضي