قائمة المطابقات المثلثية

في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة غاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون احدى زوايا المعادلة مجهولة وتحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة^[1].

ملاحظات

• لتجنب الالتباس حول (sin⁻¹(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

علاقات أساسية

التطابق، الإزاحة، والدورية

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابق

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

الإزاحة والدورية

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

شكل المصفوفة

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{matrix}}\right].}$

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية

${\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {odd} \ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}$

${\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {even} \ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}$

ظلال مجاميع حدود محدودة

${\displaystyle \tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},}$

مثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودة

${\displaystyle \sec(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}}$

مثلا,

${\displaystyle \sec(\alpha +\beta +\gamma )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}.}$

صيغ الزوايا المتعددة

${\displaystyle 1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$

صيغ أضعاف، ثلاثيات، وانصاف الزوايا

أنظر أيضا: صيغة فايرشتراس

صيغ ضعف زاوية

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}$

${\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}}$

صيغ ثلاثية زاوية

${\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin({\frac {\pi }{3}}-\theta )\sin({\frac {\pi }{3}}+\theta )}$

${\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos({\frac {\pi }{3}}-\theta )\cos({\frac {\pi }{3}}+\theta )}$

${\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan({\frac {\pi }{3}}-\theta )\tan({\frac {\pi }{3}}+\theta )}$

${\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}$

${\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}$

صيغ نصف زاوية

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\end{aligned}}}$

حيث ${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\pm 1}$ و ${\displaystyle \lfloor f(x)\rfloor }$ هي دالة الجزء الصحيح.

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}}$

^[2][3]

أيضا: ${\displaystyle \tan {\frac {\eta +\theta }{2}}={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\sec \theta +\tan \theta }$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}}$

جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة

${\displaystyle \sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}$

${\displaystyle \cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}$

${\displaystyle \tan \,(n{+}1)\theta ={\frac {\tan n\theta +\tan \theta }{1-\tan n\theta \,\tan \theta }}.}$

${\displaystyle \cot \,(n{+}1)\theta ={\frac {\cot n\theta \,\cot \theta -1}{\cot n\theta +\cot \theta }}.}$

ظل المتوسط

${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}}$

جداء Viète اللانهائي

${\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }=\operatorname {sinc} \,\theta .}$

حيث تشير Sinc إلى دالة الجيب الجوهري

صيغ اختصار الأس

متطابقات التحويل من المجموع إلى الجداء والجداء إلى المجموع

متطابقات أخرى ذات صلة

إذا كانت ${\displaystyle x+y+z=\pi }$ تساوي نصف دائرة، فإن:

${\displaystyle \tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z)}$

و ${\displaystyle \sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin(x)\sin(y)\sin(z)}$

مبرهنة بطليموس

إذا كانت ${\displaystyle w+x+y+z=\pi }$ تساوي نصف دائرة، فإن:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&{}=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)=\sin(w)\sin(y)+\sin(x)\sin(z).\end{aligned}}}$

مركبات خطية

${\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,}$

حيث:${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a<0,\end{cases}}}$

أو:${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi &{\text{if }}a<0.\end{cases}}}$

${\displaystyle a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,}$

حيث:${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,}$

و:${\displaystyle \beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{if }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}}$

مجاميع أخرى للدوال المثلثية

${\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots +\sin {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \sin {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.}$

${\displaystyle \cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\cdots +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.}$

${\displaystyle a\cos(x)+b\sin(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos(x-\operatorname {atan2} \,(b,a))\;}$

${\displaystyle \tan(x)+\sec(x)=\tan \left({x \over 2}+{\pi \over 4}\right).}$

${\displaystyle \cot(x)\cot(y)+\cot(y)\cot(z)+\cot(z)\cot(x)=1.\,}$

تحويلات كسرية خطية معينة

${\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}$

وبالمثل: ${\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}$

وعليه: ${\displaystyle f(g(x))=g(f(x))={\frac {(\cos(\alpha +\beta ))x-\sin(\alpha +\beta )}{(\sin(\alpha +\beta ))x+\cos(\alpha +\beta )}}.}$

${\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.\,}$

الدوال المثلثية العكسية

${\displaystyle \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;}$

${\displaystyle \arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;}$

${\displaystyle \arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{if }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.}$

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها

علاقة بالأس المركب

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$ (صيغة أويلر),

${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)\,}$

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}$

${\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;}$

${\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;}$

${\displaystyle \tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$

حيث ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

صيغة المضروب اللانهائي

المتطابقات الخالية من المتغيرات

${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}}$

${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin(x)}}.}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},}$

${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}$

${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)}$

${\displaystyle \,+\,\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}$

حساب π

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.}$

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&{\sqrt {0}}/2&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\sqrt {1}}/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&{\sqrt {4}}/2&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}}$

قيم أخرى شيقة

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{7}}={\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {\sqrt {7}}{189}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(3j+1)!}{189^{j}j!\,(2j+2)!}}\!}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{18}}={\frac {1}{6}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(3j)!}{27^{j}j!\,(2j+1)!}}\!}$

بـالنسبة الذهبية φ:

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}=\varphi /2}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }}$

التفاضل والتكامل

النهايات

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$

المشتقات

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&={-1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}\ }$

التكاملات

${\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}$

تضمينات

تعاريف أسية

متفرقات

نواة ديراك

${\displaystyle 1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left[\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right\rbrack }{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}$

صيغ امتدادات نصف الزاوية

إذا وضعنا:${\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),}$

${\displaystyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}{\text{ and }}\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\text{ and }}e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.}$

انظر أيضاً

• حساب المثلثات.

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات