أساليب رونج - كوتا للحل العددي للمعادلة التفاضلية.[1]
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5403ae9b59027d73d98912db269457070954f204)
والتي تأخذ شكل:
![{\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5e8b6ecdcc9f24af4e7d898f59fda7ae15e9b3)
![{\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e39f2da34ae8f2abceeee8d2290d9d518caddc)
![{\displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9197105fab2093caab78f1d8a301c3d07b994cf6)
![{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91af0be2e2382859fd2c901271f60c7bc2b6f52f)
طرق معاملات طريقة رونج-كوتا للحل العددي المعادلات التفاضلية كما يلي
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27190eeffeee1a49601d6f687ef0c1fdd36ac699)
أساليب صريحة
الطرق الصريحة هي التي تكون فيها المصفوفة أقل من المصفوفات المثلثية:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93ea4b2f2dd0faec23169926610e29a2d7943b5)
طريقة هيون
طريقة هيون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين (المعروفة باسم شبه منحرف صريح):
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd30f5c68e6ef0a11b2b74f85636b41fd7bca69)
طريقة رالستون
طريقة رالستون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين والحد الأدنى وضع خطأ مقيد:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2338707356ed9caf8313e55e612024b58d268e65)
طريقة عامة من الدرجة الثانية
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\x&x&0\\\hline &1-{\frac {1}{2x}}&{\frac {1}{2x}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895ae458f52bdf40f44e871853a40627f24fec64)
طريقة كوتا الثالثة
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06459b1660201c3a5266a816e2522ffaf612aea1)
طريقة الترتيب الرابع التقليدية
وهي الطريقة "الأصلية" لطريقة رونج-كوتا.
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f39e6d006277318397a7dcdc23bde00b72b732)
3/8 قاعدة طريقة الترتيب الرابع
هذا الأسلوب مشابه للطريقة التقليدية وتم اقتراحه في نفس الورقة العلمية (كوتا 1901).
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cd3f829691f75cfe19ffad6fab19806a02878c)
أساليب ضمنية
تم تصميم الأساليب الضمنية لإنتاج تقدير لخطأ واحد لاقتطاع طريقة رونج-كوتا، لذلك تسمح بالتحكم في الخطأ ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين. طريقة مع النظام ( ص ) والثانية مع النظام (ص-1).
يتم إعطاء خطوة أقل من قبل:
![{\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4afb9243a5402aad69b60a550ca706bb29982983)
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9df94c56e01269a3e28d40c2f2726edfbd02c44)
طريقة هيون-يولر
أبسط طريقة للتعامل مع طريقة رونج-كوتا تنطوي على الجمع بين طريقة هيون وهو أمر 2 مع طريقة يولر وهو أمر 1 وهي بالشكل التالي:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af1ef9c788c64a1b2cab69bc2fcf332e562d71c)
يتم استخدام تقدير الخطأ للسيطرة على حجم الخطوة.
طريقة فلبرج RK1
طريقة فلبرج [2] لديها طريقتين من الأوامر 1 و 2 :
|
0
|
|
1/2 |
1/2
|
|
1 |
1/256 |
255/256 |
|
|
|
1/256 |
255/256 |
0
|
|
|
1/512 |
255/256 |
1/512
|
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الأول من الدرجة الأولى، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.
طريقة بوجاكي - شامبين لديها طريقتين من الأوامر 2 و 3 :
|
0
|
|
1/2 |
1/2
|
|
3/4 |
0 |
3/4
|
|
1 |
2/9 |
1/3 |
4/9 |
|
|
|
2/9 |
1/3 |
4/9 |
0
|
|
|
7/24 |
1/4 |
1/3 |
1/8
|
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الثالث، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.
طريقة فلبرج
طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 4 و 5 :
|
0
|
|
1/4 |
1/4
|
|
3/8 |
3/32 |
9/32
|
|
12/13 |
1932/2197 |
−7200/2197 |
7296/2197
|
|
1 |
439/216 |
−8 |
3680/513 |
−845/4104
|
|
1/2 |
-8/27 |
2 |
−3544/2565 |
1859/4104 |
−11/40 |
|
|
|
16/135 |
0 |
6656/12825 |
28561/56430 |
−9/50 |
2/55
|
|
|
25/216 |
0 |
1408/2565 |
2197/4104 |
−1/5 |
0
|
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.
طريقة كاش - كارب وهي عبارة تعديل في طريقة فلبرج:
|
0
|
|
1/5 |
1/5
|
|
3/10 |
3/40 |
9/40
|
|
3/5 |
3/10 |
−9/10 |
6/5
|
|
1 |
−11/54 |
5/2 |
−70/27 |
35/27
|
|
7/8 |
1631/55296 |
175/512 |
575/13824 |
44275/110592 |
253/4096 |
|
|
|
37/378 |
0 |
250/621 |
125/594 |
0 |
512/1771
|
|
|
2825/27648 |
0 |
18575/48384 |
13525/55296 |
277/14336 |
1/4
|
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.
|
0
|
|
1/5 |
1/5
|
|
3/10 |
3/40 |
9/40
|
|
4/5 |
44/45 |
−56/15 |
32/9
|
|
8/9 |
19372/6561 |
−25360/2187 |
64448/6561 |
−212/729
|
|
1 |
9017/3168 |
−355/33 |
46732/5247 |
49/176 |
−5103/18656
|
|
1 |
35/384 |
0 |
500/1113 |
125/192 |
−2187/6784 |
11/84 |
|
|
|
35/384 |
0 |
500/1113 |
125/192 |
−2187/6784 |
11/84 |
0
|
|
|
5179/57600 |
0 |
7571/16695 |
393/640 |
−92097/339200 |
187/2100 |
1/40
|
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس. والصف الثاني يعطي الحل الرابع.
الطرق الضمنية
هي عبارة عن الترتيب الأول. مستقرة وغير مشروطة وغير متذبذبة لمشاكل الانتشار الخطية.
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba161e3ed2a47c2bba7805c3cf5c52f9e5eba8d8)
نقطة الوسط الضمنية
وهي طريقة منتصف الطريق الضمني وهي من الدرجة الثانية وتعتبر أبسط طريقة في فئة طرق التجميع المعروفة باسم طرق غاوس.
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717bf03cef4fa9edfe97ac08e7b1eb72e6f2a491)
وتستند هذه طرق على نقاط غاوس-ليجيندر التربيعي. مثال على ذلك من النظام الرابع:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2953f2985bce414b7f62ec4a49288e3c3b314ca0)
مثال على طريقة غاوس-ليجيندر من النظام ستة:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb4ffce54eaba3db9bc82a88c94799c90793801)
طرق لوباتو
هناك ثلاث طرق رئيسية من أساليب لوباتو وهي:
1. طريقة لوباتو IIIA :
هي عبارة عن طريقة التجميع وتعرف باسم المعادلات التفاضلية :
معادلة من نوع أمر 2:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad4aa189a1efe516e8c974115897c9ad8a0512c)
معادلة من نوع أمر 4:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b81e05d27b9deab78b755c0714b43bff14fb88)
2. طريقة لوباتو IIIB :
وهي تختلف عن طرق التجميع ولكن يمكن اعتبارها طريقة التجميع المتقطع:
معادلة من نوع أمر 2:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac397c65c55b7382877548a344cced85625e4b46)
معادلة من نوع أمر 4:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e94aedf814b31701e150ff5047e15a94454edf)
3. طريقة لوباتو IIIC :
وهي عبارة عن أساليب التجميع المتقطع:
معادلة من نوع أمر 2:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a110084aff1eff8dedace2752c77c017a006b406)
معادلة من نوع أمر 4:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c919a5883daf5dbfc24a1966ca7a329f5c01799a)
طرق رادو
طرق رادو وهي عبارة عن طريقتين من المعادلات وهي:
1. طريقة رادو IA :
وهي مشابهة لطريقة باكورد يولر
معادلة من نوع أمر 3:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1c11dd1c6d32ee4039247b3c597344b8b8c1c2)
معادلة من نوع أمر 5:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a94f60484e7a875973ce4178e7718bcf32ffb4)
2. طريقة رادو IIA :
وهي مشابهة لطريقة غاوس-ليجيندر
معادلة من نوع أمر 3:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47fbd5ebb86b9303939471d9684163adbaa315b)
المراجع
موسوعات ذات صلة :