Zéro en tant qu'absence d'élément

L'une des premières apparitions d'un symbole pour indiquer l'absence de tout élément se trouve dans l'Aṣṭādhyāyī, traité de grammaire en sanskrit attribué au grammairien Pāṇini et rédigé au plus tard au IV^e siècle av. J.-C. La plupart des formes nominales du sanskrit peuvent être représentées par des segments phonétiques réels selon la séquence racine + suffixe de thème + suffixe flexionnel. Certaines des formes nominales échappent cependant à cette règle. Ainsi le mot bajham (« partage ») est formé de la racine bajh- et du suffixe flexionnel -am sans faire intervenir de suffixe de thème pour sa formation. L'auteur de l'Aṣṭādhyāyī a choisi d'indiquer son absence en la représentant par un symbole^[6].

Zéro en tant que chiffre

Les systèmes de numération positionnels sont de bons candidats pour l'apparition du zéro en tant que chiffre. Il est ainsi apparu plusieurs fois dans ceux élaborés par différents peuples et civilisations. Le chiffre zéro n'y est cependant pas nécessaire: des civilisations comme la Chine ou la Mésopotamie s'en sont passé durant des siècles.

Dans la civilisation mésopotamienne, un système sexagésimal de position apparait dès le XXI^e siècle av. J.-C.^[7]. Ce système n'utilisait pas de zéro, ni pour indiquer l'ordre de grandeur, puisqu'ils travaillaient sur un système apparenté à la virgule flottante^[8] ni pour indiquer une absence au sein de la numération où d'autres moyens étaient utilisés comme l'espacement^[9]. La première apparition du zéro en Mésopotamie semble remonter au III^e siècle av. J.-C., à l’époque des Séleucides. Il n’était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d’une position vide dans le système de numération babylonienne)^[10]. Ignoré par les Romains, il fut repris et mieux utilisé encore par les astronomes grecs.

Les inscriptions sur os et écailles (jiaguwen) découvertes dans la région de Anyang, dans l’actuelle province du Henan, à la fin du XIX^e siècle, nous apprennent que, dès les XIV^e – XI^e siècles av. J.-C., les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant neuf signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les dizaines, centaines, milliers et myriades. Au I^er siècle av. J.-C., en Chine antique, la numération à bâtons utilise des espaces entre les chiffres pour représenter les zéros^[11]. Le zéro s'y rencontre tardivement probablement sous influence babylonienne ou grecque^[12].

Une autre présence concerne le système dont nous sommes toujours héritiers, apparue vraisemblablement dans le monde indien au III^e siècle ou même avant^[13]. La première trace écrite conservée du 0 se trouverait dans le manuscrit de Bakhshali (III^e ou IV^e siècle apr. J.-C.)^[14].

L'utilisation d'un zéro positionnel est également avéré dans le système de numération maya, au IV^e siècle, qui dispose en outre d'un zéro ordinal^[15].

En tant que nombre

Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est hérité de l’invention indienne des chiffres nagari vers le V^e siècle. Le mot indien désignant le zéro était śūnya (çûnya), qui signifie « vide », « espace » ou « vacant ». Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma Siddhânta. Ce mot, d'abord traduit en arabe par « ṣifr », ce qui signifie « vide » et « grain », a ensuite donné en français les mots chiffre et zéro (de par la traduction de sifr en l’italien zephiro, à partir duquel a été formé zevero qui est devenu zero). La graphie du zéro, d’abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voûte céleste.

Comme l’indique l’étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction de mathématiques arabes, notamment les travaux d’al-Khwārizmī, vers le VIII^e siècle. En 976, Muhammad Ibn Ahmad, dans ses Clés des Sciences suggère — si aucun nombre n'apparait à la place des dizaines — d'employer un petit cercle pour « garder le rang »^[16].

Les chiffres indiens sont importés d’Espagne en Europe chrétienne aux environs de l’an mil. Cette introduction a souvent été attribuée à Gerbert d’Aurillac, devenu pape sous le nom de Sylvestre II. Il est cependant douteux qu'il en ait véritablement été le responsable. Dans tous les cas, le zéro n'est pas encore couramment utilisé en Europe chrétienne, les chiffres indiens servant surtout à marquer les jetons d’abaque de 1 à 9^[17].

Leonardo Fibonacci a une influence déterminante. Il reste plusieurs années à Béjaïa, au Maghreb central (actuelle Algérie), et étudie auprès d’un professeur local. Il voyage également en Grèce, en Égypte, dans le Proche-Orient et confirme l’avis de Sylvestre II sur les avantages de la numération de position. En 1202, il publie le Liber Abaci, recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l’époque et qui, malgré son nom, enseigne à calculer sans abaque.

Dans son ouvrage Zéro, la biographie d'une idée dangereuse, Charles Seife explique en quoi le zéro a permis la compréhension de nombreux concepts dans plusieurs domaines en plus des mathématiques, notamment la thermodynamique et la mécanique quantique ; entre autres, les travaux de Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Richard Swineshead et Nicole Oresme à propos des suites mathématiques, lient étroitement zéro avec l'infini.

Les deux zéros des Mayas

Signe	Sens
	0 ordinal : dates
	0 cardinal : durées

Le zéro est utilisé par les Mayas durant le I^er millénaire, comme chiffre dans leur système de numération de position, comme nombre et comme ordinal dans le calendrier, où il correspond à l’introduction des mois. Sylvanus Morley a confondu ces deux utilisations dans une transcription unique, négligeant le fait qu’il s’agit de deux concepts et de deux zéros différents^[5] : l’un correspond à un zéro ordinal des dates, l’autre est un zéro cardinal des durées^[18], jamais confondus dans leurs usages par les scribes^[19].

Perception animale du nombre zéro

Des tests appropriés permettent d'évaluer la capacité des animaux à compter, à évaluer si un nombre est plus grand qu'un autre, et même à considérer le zéro (l'absence d'items) comme un nombre inférieur aux autres. Cette capacité a été démontrée chez les gris du Gabon^[20], chez les singes rhésus^[21] et chez les abeilles domestiques^[22].

Usage étendu de zéro en mathématiques

• Zéro est l’élément neutre dans un groupe abélien muni de la loi + ou l’élément neutre pour l’addition dans un anneau.
• Un zéro d’une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l’image par la fonction est zéro ; aussi appelé racine, surtout dans le cas d’une fonction polynomiale. Voir zéro (analyse complexe).
• En géométrie, la dimension d’un point est 0.
• En topologie, la dimension topologique de l’ensemble de Cantor est 0, quoiqu’il ait une dimension de Hausdorff non nulle.
• En géométrie analytique, 0 a pour nom l’origine, notée aussi O (un cas où l’ambiguïté est bénigne).
• Le concept de « presque impossible » en probabilité.
• Une fonction nulle est une fonction qui ne prend que la valeur 0. Un morphisme nul est une fonction nulle particulière. Une fonction nulle est l’élément neutre dans un groupe additif de fonctions.
• Zéro est l’une des trois valeurs prises par la fonction de Möbius. Appliquée à un entier x² ou x²y, la fonction de Möbius retournera zéro.
• C’est un nombre de Pell.

Articles connexes

• Axiomes de Peano
• Chiffres arabes
• Système de numération indo-arabe
• Lokavibhâga
• Système décimal sans zéro
• Théorème des zéros de Hilbert
• Zéro barré

Bibliographie

• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, l’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, collection Bouquins. (ISBN 978-2-221-90100-7). Tome 1, 1 042 pages, tome 2, 1 010 pages. Janvier 1994. (illustrations en couleur)
• Charles Seife, Zéro : la biographie d’une idée dangereuse, Paris, Hachette, 2007 (ISBN 978-2-01-279192-3).

Radiographie

• « Zéro : dans l'ombre des nombres » , Eurêka ! , France Culture, 12 aout 2021.

Vidéographie

• [vidéo] La longue histoire du zéro sur Futura sciences.