متسلسلة تايلور

في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (Taylor series)‏ هو تمثيل لدالة رياضية في شكل متسلسلة متكونة من حدود حُسبن باستعمال قيم اشتقاق هذه الدالة في نقطة معينة.

اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور. وكان ذلك عام 1715.

إذا تعلق الأمر بنقطة الصفر، فإن هذه المتسسلسلة قد تسمى أيضا متسلسلة ماكلورين نسبة إلى عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين الذي استعمل هذه الحالة الخاصة بشكل مكثف خلال القرن الثامن عشر.

المجموع الجزئي المكون من الحدود n الأولى لمتسلسة تايلور هو متعددة حدود من الدرجة n يسمى متعددة الحدود لتايلور. متعددات الحدود لتايلور من تقريبات للدالة التي حُسبن عليها هؤلاء المتعددات تزداد دقة كلما كبرت قيمة n. تقدر مبرهنة تايلور كمية الخطأ الذي يفصل الدالة عن هؤلاء التقريبات. دالهٌ قد لا تساوي المجموع غير المنتهي لمتسلسة تايلور، حتى وإن كانت هذه المتسلسة متقاربة. يُقال عن دالة أنها تحليلية في نقطة x إذا كانت مساوية للمجموع غير المنتهي لمتسلسلة تايلور في جوار مفتوح ما (أو قرص مفتوح في المستوى العقدي) يحتوي على x. في هذه الحالة تكون الدالة تحليلية ليس فقط عند x وإنما عند جميع نقط هذا الجوار أو هذا القرص.

تعريف

متسلسلة تايلور المنتهية

إذا كانت الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة ${\displaystyle {x}_{0}\!}$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

${\displaystyle f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)\!}$

حيث ${\displaystyle T_{n}(x)\!}$ يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}$

أو

${\displaystyle T_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{n}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

و يمكن اعتبار متعدد الحدود ${\displaystyle T_{n}(x)\,}$ تقريبا للدالة f في النقطة ${\displaystyle x_{0}}$

متسلسلة تايلور اللامنتهية

إذا اعتُبرت المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضت n بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء ${\displaystyle R_{n}(x)\!}$ يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}$

أو

${\displaystyle T_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

تاريخ

فكر في جمع متسلسلة غير منتهية عالم الرياضيات الإغريقي زينون الإيلي. ولكنه سرعان ما ترك هذا الأمر، مما أعطاه مفارقة من مفارقاته المعروفة باسم مفارقات زينون.

خلال القرن السابع عشر، عمل جيمس جريجوري على هذا المجال، ونشر عدة أمثلة لهؤلاء المتسلسلات في النقطة الصفر. في عام 1715، نشر بروك تايلور طريقة عامة تمكن من إنشاء هؤلاء المتسلسلات بالنسبة لجميع الدوال. نتيجة لذلك، سمين نسبة إليه.

دوال تحليلية

إذا عُرفت دالة ما بواسطة متسلسة متقاربة للقوى في قرص مفتوح في المستوى العقدي (أو مجال على مستقيم الأعداد الحقيقية)، مركزه هو b، فإنه يقال عنها أنها دالة تحليلية إذا وفقط إذا اقتربت متسلسلة تايلور من هذه الدالة عند جميع نقط هذا القرص.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$

اشتقاق هذه الدالة n مرة ثم تعويض x ب b يعطي ما يلي:

${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}$

إذا كانت الدالة f (x) مساوية لمتسلسلة تايلور عند كل نقطة x من المستوى العقدي، حينئذ يقال عن هذه الدالة أنها دالة كاملة. الدوال الحدودية والدالة الأسية e^x والدالتان المثلثيتان الجيب والجيب التمام كلهن أمثلة عن الدوال الكاملة. دالة الجذر التربيعي واللوغاريتم والدالة المثلثية الظل ومعكوسها "قوس الظل"، كلهن أمثلة عن الدوال غير الكاملة. انظر إلى نصف قطر التقارب.

متسلسلة ماكلورين

إذا كانت ${\displaystyle x_{0}=0\,}$ في متسلسلة تايلور، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(0)}{k!}}x^{k}}$

أو

${\displaystyle T_{n}(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {f^{n}(0)}{n!}}x^{n}}$

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق كثير الحدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسب متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الاعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرأ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

سلاسل ماكلورين لبعض الدوال المألوفة

فيما يلي بعض من منشورات ماكلورين.^[1] المتسلسلات مشروعة حتى في المستوى العقدي ل x.

الدالة الأسية

متسلسلة ماكلورين للدالة الأسية ${\displaystyle e^{x}}$ ذات القاعدة e هي كما يلي:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$

هذه المتسلسلة تتقارب مهما كانت قيمة x.

اللوغاريتم الطبيعي

لوغاريتم طبيعي (بقاعدة e) لها متسلسلة تايلور بالنسبة للمتسلسلة الأولى ومتسلسلة ماكلورين للثانية والثالثة.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-x)^{n}}{n}}=-(1-x)-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}-{\frac {(1-x)^{3}}{3}}-\cdots ,\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$

وتتقارب ل ${\displaystyle |x|<1}$. (بالإضافة فإن متسلسلة ln(1 − x) تتقارب ل x = −1, والمتسلسلة ل ln(1 + x) تتقارب ل x = 1.)

متسلسلات هندسية

${\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

متسلسلات هندسية لانهائية:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)^{n}{\text{ for }}|x|>0\!}$

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}$

الجذر التربيعي:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots {\text{ for }}|x|\leq 1}$

متسلسلة كثيرة حدود (متضمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1):

متسلسلة المعامل الثنائي

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1}$

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}$

حيث ${\displaystyle \alpha \!}$ عدد عقدي.

دوال مثلثية

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

حيث B_s هي أعداد بيرنولي.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arccos(x)={\pi \over 2}-\arcsin(x)=\arcsin(1)-\arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}1^{2n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}1-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}(1-x^{2n+1}){\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

دوال زائدية

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!}$

حساب متسلسلة تايلور

في التحليل الرياضي، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة.

المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$

متسلسلة تايلور بعدة متغيرات

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$

مقارنة مع متسلسلة فورييه

مقالات ذات صلة

• متسلسلة (رياضيات)
• متتالية
• متسلسلة فورييه

مراجع

موسوعات ذات صلة :

• موسوعة رياضيات
• موسوعة تحليل رياضي