Soit un fluide non visqueux, initialement au repos. Les propriétés du milieu en un point ${\displaystyle \mathrm {M} }$ situé à une distance ${\displaystyle r}$ de la source de perturbation peuvent s'écrire comme la somme d'une valeur moyenne temporelle (uniforme) et d'une composante instationnaire (de faible amplitude). Ainsi :

• masse volumique : ${\displaystyle \rho \!\left(\mathrm {M} ,t\right)=\rho _{0}+\rho '\!\left(r,t\right)}$ ;
• pression : ${\displaystyle P\!\left(\mathrm {M} ,t\right)=P_{0}+P'\!\left(r,t\right)}$ ;
• vitesse : composante radiale uniquement, de moyenne temporelle nulle, notée ${\displaystyle u\!\left(r,t\right)}$.

Les équations de Navier-Stokes relient les variations de ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle u}$, tandis qu'une équation d'état est nécessaire pour relier ${\displaystyle \rho }$ à la pression ${\displaystyle P}$.

Bilan de masse (équation de continuité)

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\text{div}}\left(\rho \cdot {\vec {v}}\right)=0}$

Soit : ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \cdot {\text{div}}\left({\vec {v}}\right)+{\vec {v}}\cdot {\vec {\text{grad}}}\rho =0}$

En négligeant le terme convectif ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {\text{grad}}}\rho }$ puisque ${\displaystyle {\vec {v}}\approx {\vec {0}}}$, en assimilant ${\displaystyle \rho }$ à sa moyenne temporelle ${\displaystyle \rho _{0}}$, et en développant le tout en coordonnées sphériques, il vient :

(E1) ${\displaystyle {\frac {\partial \rho '}{\partial t}}=-{\frac {\rho _{0}}{r^{2}}}{\frac {\partial \left(r^{2}u\right)}{\partial r}}}$

Bilan de quantité de mouvement (équation d'Euler en l'absence de prise en compte de la viscosité)

${\displaystyle \rho {\frac {{\text{D}}{\vec {v}}}{{\text{D}}t}}=-{\vec {\text{grad}}}P}$

Projetée sur l'axe radial, cette équation s'écrit : ${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot {\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}}$

En négligeant le terme ${\displaystyle u\cdot {\frac {\partial u}{\partial r}}}$ puisque ${\displaystyle u\approx 0}$ et en assimilant ${\displaystyle \rho }$ à sa moyenne temporelle ${\displaystyle \rho _{0}}$, il vient :

(E2) ${\displaystyle {\frac {\partial P'}{\partial r}}\approx -\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

Équation d'état

La masse volumique est reliée à la pression par l'équation d'état du fluide ${\displaystyle P=f\!\left(\rho \right)}$, dont la dérivée au premier ordre est exprimée par le coefficient de compressibilité isentropique ${\displaystyle \chi _{S}={\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial P}}\right)_{S}}$. On peut donc écrire :

(E3) ${\displaystyle \rho '\approx \rho _{0}\chi _{S}P'}$

Expression du champ de pression

En éliminant ${\displaystyle \rho '}$ de l'équation (E1) grâce à l'équation (E3), on obtient :

${\displaystyle {\frac {\partial P'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\chi _{S}}}\left({\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {2u}{r}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial P'}{\partial r}}=-\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

La dérivation de la première équation par rapport au temps et de la seconde par rapport à ${\displaystyle r}$ donne :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\chi _{S}}}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial r}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial u}{\partial t}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P'}{\partial r^{2}}}=-\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r\partial t}}}$

En éliminant ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial r}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}}$, on aboutit à :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P'}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial P'}{\partial r}}=\rho _{0}\chi _{S}{\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}}$

Soit :

${\displaystyle \Delta P'=\rho _{0}\chi _{S}{\frac {\partial ^{2}P'}{\partial t^{2}}}}$

où le symbole ${\displaystyle \Delta }$ désigne l'opérateur laplacien. Il s'agit de l'équation de propagation d'une onde sphérique de célérité :

Célérité : ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\rho _{0}\chi _{S}}}}}$

La solution générale du champ de pression est de la forme :

Champ de pression : ${\displaystyle P=P_{0}+{\frac {1}{r}}\left[f_{1}\!\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+f_{2}\!\left(t+{\frac {r}{c}}\right)\right]}$

Dans son Traité de mécanique céleste, Laplace rappelle sa formule publiée en 1816 dans les Annales de Physique et de Chimie^[16] :

« La vitesse du son est égale au produit de la vitesse que donne la formule newtonienne, par la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique de l'air sous une pression constante, à sa chaleur spécifique sous un volume constant. »

La vitesse du son fait intervenir la masse volumique ${\displaystyle \rho }$ et la compressibilité isentropique ${\displaystyle \chi _{S}}$ du milieu selon l'hypothèse isentropique de Laplace :

${\displaystyle c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{S}\,\rho }}}}$

Newton avait basé son modèle sur une hypothèse isotherme du son, ce qui le conduisit à une formule équivalente à :

${\displaystyle c_{\text{Newton}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{T}\,\rho }}}}$

Les compressibilités isentropique ${\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}$ et isotherme ${\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}}$ sont liées par la relation de Reech au coefficient de Laplace ${\displaystyle \gamma }$ :

${\displaystyle \gamma ={c_{P} \over c_{V}}={\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}}$

avec :

• ${\displaystyle c_{P}}$ la capacité thermique isobare massique (anciennement chaleur spécifique sous une pression constante) ;
• ${\displaystyle c_{V}}$ la capacité thermique isochore massique (anciennement chaleur spécifique sous un volume constant).

Ainsi, les expressions des vitesses du son selon Laplace et Newton sont liées par :

${\displaystyle c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {1}{\chi _{S}\,\rho }}}={\sqrt {\frac {\chi _{T}}{\chi _{S}}}}{\sqrt {\frac {1}{\chi _{T}\,\rho }}}={\sqrt {\gamma }}\,c_{\text{Newton}}}$

${\displaystyle c_{\text{Laplace}}={\sqrt {\frac {c_{P}}{c_{V}}}}\,c_{\text{Newton}}}$

Pour l'air, gaz diatomique, ${\displaystyle \gamma \approx 1{,}4}$, d'où :

${\displaystyle c_{\text{Laplace}}\approx 1{,}183\cdot c_{\text{Newton}}}$

${\displaystyle c_{\text{Newton}}\approx 0{,}845\cdot c_{\text{Laplace}}}$

La formule de Laplace donnant la vitesse du son correcte dans l'air, la formule de Newton donne une valeur d'environ 16 % inférieure à la réalité.

La vitesse du son dans un fluide a pour expression :

${\displaystyle c={\sqrt {1 \over \chi _{S}\,\rho }}}$

Le coefficient de compressibilité isentropique est défini par : ${\displaystyle \chi _{S}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{S}}$. Il est relié au coefficient de Laplace ${\displaystyle \gamma }$ par la relation de Reech : ${\displaystyle \gamma ={\chi _{T} \over \chi _{S}}}$, avec ${\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}}$ le coefficient de compressibilité isotherme. On réécrit donc :

${\displaystyle c={\sqrt {\gamma \over \chi _{T}\,\rho }}}$

L'équation d'état de van der Waals s'écrit :

${\displaystyle P={nRT \over V-nb}-{an^{2} \over V^{2}}}$

avec :

• ${\displaystyle a}$ le terme de cohésion (constant) ;
• ${\displaystyle b}$ le covolume molaire (constant) ;
• ${\displaystyle n}$ la quantité de matière (nombre de moles) ;
• ${\displaystyle P}$ la pression ;
• ${\displaystyle R}$ la constante universelle des gaz parfaits ;
• ${\displaystyle T}$ la température absolue ;
• ${\displaystyle V}$ le volume.

${\displaystyle n}$ moles de gaz de masse molaire ${\displaystyle M}$ ont une masse ${\displaystyle m=nM}$ et occupent un volume ${\displaystyle V}$ sous la pression ${\displaystyle P}$ et à la température ${\displaystyle T}$. La masse volumique vaut alors ${\displaystyle \rho ={m \over V}=M{n \over V}}$ et le volume molaire ${\displaystyle {\bar {V}}={V \over n}}$. Le coefficient de compressibilité isotherme vaut alors, pour un gaz de van der Waals :

${\displaystyle \chi _{T}\!\left(T,{\bar {V}}\right)={\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}\left(1-{2a\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}^{3}}\right)}}$

On réécrit en conséquence :

${\displaystyle c={\sqrt {{\gamma \over M}{{\bar {V}} \over \chi _{T}}}}={\sqrt {{\gamma \over M}\left({RT{\bar {V}}^{2}\left(1-{2a\left({\bar {V}}-b\right)^{2} \over RT{\bar {V}}^{3}}\right) \over \left({\bar {V}}-b\right)^{2}}\right)}}}$

en réarrangeant, on trouve :

${\displaystyle c={\sqrt {{\gamma \over M}\left({\frac {RT{\bar {V}}^{2}}{\left({\bar {V}}-b\right)^{2}}}-{2a \over {\bar {V}}}\right)}}}$