Cas isotrope

On peut calculer pour tous les matériaux isotropes la variation de longueur et donc de volume en fonction de la variation de température :

${\displaystyle \Delta L=\alpha \;L_{0}\;\Delta T}$

avec :

• ${\displaystyle \Delta L}$ la variation de longueur en mètres (m) ;
• ${\displaystyle \alpha }$ le coefficient de dilatation linéaire en kelvins puissance moins un (K⁻¹) ;
• ${\displaystyle L_{0}}$ la longueur initiale en mètres (m) ;
• ${\displaystyle \Delta T=T-T_{0}}$ la variation de température en kelvins (K) ou en degrés Celsius (°C).

Remarque : puisqu'on utilise une variation (une différence de température) la différence d'origine entre kelvin et degré Celsius s'annule, la distinction n'est donc pas nécessaire.

On peut aussi directement calculer la longueur en fonction de la température :

${\displaystyle L(T)=L_{0}+\Delta L=L_{0}\;(1+\alpha \;(T-T_{0}))}$

avec :

• ${\displaystyle L(T)}$ la longueur en mètres (m) en fonction de la température ;
• ${\displaystyle T}$ la température considérée en kelvins (K) ou en degrés Celsius (°C) ;
• ${\displaystyle T_{0}}$ la température initiale en kelvins (K) ou en degrés Celsius (°C).

Application

Soit un rail en acier de 30 m en hiver à −20 °C ; en été, la température est de 40 °C. Le rail subit donc une variation de température ΔT = 60 °C, sa variation de longueur est :

${\displaystyle \Delta L=\alpha _{\mathrm {acier} }\cdot L_{0}\cdot \Delta T=12\times 10^{-6}\times 30\times 60=2{,}16\times 10^{-2}\ \mathrm {m} }$

Ainsi le rail s'allonge de 21,6 mm, sa longueur en été est de 30,021 6 m.

Tenseur de dilatation thermique

Les matériaux cristallins non cubiques présentent une dilatation thermique anisotrope : on n'observe pas le même coefficient de dilatation α dans toutes les directions. Pour cette raison, on utilise un tenseur symétrique d'ordre 2 pour décrire la dilatation dans les matériaux anisotropes^[1] :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{21}=\alpha _{12}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{31}=\alpha _{13}&\alpha _{32}=\alpha _{23}&\alpha _{33}\end{bmatrix}}}$

Ainsi, dans le cas général d'un matériau triclinique, six coefficients de dilatation thermique sont nécessaires. Ces coefficients se rapportant à un repère orthogonal, les coefficients de dilatation n'ont pas forcément de rapport direct avec les axes cristallographiques du matériau. En effet, les valeurs propres et vecteurs propres d'un tenseur d'ordre 2 forment toujours (dans le cas où les valeurs propres sont positives) une ellipsoïde de révolution, dont les axes sont perpendiculaires les uns aux autres : on dit qu'un tenseur d'ordre 2 possède toujours au moins la symétrie ponctuelle orthorhombique maximale 2/m 2/m 2/m.

Pour un cristal orthorhombique par exemple, où α₁₂ = α₁₃ = α₂₃ = 0, le tenseur de dilatation est diagonal et α₁₁, α₂₂ et α₃₃ décrivent la dilatation le long des trois directions cristallographiques a, b et c du matériau. Par contre, dans le système monoclinique, α₁₃ est non nul : alors que α₂₂ représente la dilatation thermique le long de b, la relation entre α₁₁, α₃₃, α₁₃ et les paramètres de maille a, c, β n'est pas aussi triviale. Par convention, le repère orthogonal (e₁, e₂, e₃) choisi pour décrire la dilatation thermique dans les matériaux monocliniques est tel que e₂ est parallèle au vecteur b, axe de symétrie du cristal, e₃ est parallèle à c et e₁ est parallèle au vecteur du réseau réciproque a*, qui forme par définition un trièdre direct avec b et c : α₃₃ représente la dilatation thermique le long de c, alors que α₁₁ représente la dilatation le long du vecteur réciproque a* qui est différent de a.

Dans le cas général triclinique, il est possible de calculer les coefficients du tenseur de dilatation thermique à partir des variations en température des paramètres de maille^[2]. Dans le repère conventionnel orthogonal (e₁, e₂, e₃), défini par e₃ parallèle à c, e₂ parallèle à b* et e₁ étant le produit vectoriel de e₂ et e₃, on obtient :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\alpha _{11}&=&\displaystyle {{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} T}}\cot {\beta }}\\[3ex]\alpha _{22}&=&\displaystyle {{\frac {1}{b}}{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} T}}\cot {\alpha }+{\frac {\mathrm {d} \gamma ^{*}}{\mathrm {d} T}}\cot {\gamma ^{*}}}\\[3ex]\alpha _{33}&=&\displaystyle {{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} T}}}\\[3ex]\alpha _{12}&=&\displaystyle {{\frac {1}{2}}\cot {\gamma ^{*}}\left({\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} T}}-{\frac {1}{b}}{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} T}}-{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} T}}\cot {\alpha }+{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} T}}\cot {\beta }\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} \gamma ^{*}}{\mathrm {d} T}}}\\[3ex]\alpha _{13}&=&\displaystyle {{\frac {1}{2}}\cot {\beta }\left({\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} T}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} T}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} T}}}\\[3ex]\alpha _{23}&=&\displaystyle {{\frac {1}{2}}\left\{\left({\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} T}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} T}}\right)\cot {\gamma ^{*}}\cot {\beta }+\left({\frac {1}{b}}{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} T}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} T}}\right){\frac {\cot {\alpha }}{\sin {\gamma ^{*}}}}-\left({\frac {1}{\sin {\gamma ^{*}}}}{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} T}}\cot {\gamma ^{*}}\right)\right\}}\end{array}}}$

où ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ sont les paramètres de maille du cristal dans le réseau direct et ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ est l'angle entre les vecteurs a* et b* du réseau réciproque.

Les valeurs propres du tenseur de dilatation thermique, ou coefficients de dilatation linéaires principaux ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ et ${\displaystyle \alpha _{3}}$, permettent aussi d'obtenir le coefficient de dilatation volumique ${\displaystyle \beta }$ vu plus haut, trace du tenseur : ${\displaystyle \beta =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=\alpha _{11}+\alpha _{22}+\alpha _{33}}$, puisque la trace d'une matrice carrée est invariante par changement de base. Pour les matériaux isotropes, on retrouve ainsi le résultat ${\displaystyle \beta =3\;\alpha }$.

Personnalités ayant travaillé sur la dilatation

• Louis Joseph Gay-Lussac découvrit la loi de dilatation des gaz
• Pierre Louis Dulong
• Charles Édouard Guillaume, prix Nobel de physique (1920), découvrit des alliages ayant de faibles coefficients de dilatation
• Willem Jacob 's Gravesande

Articles connexes

• Coefficients calorimétriques et thermoélastiques
• Loi de Gay-Lussac
• Retrait plastique
• Magnétostriction
• Électrostriction
• Dilatation du temps
• Dilatation de l'espace en géométrie
• Vasodilatation
• Dilatation des pupilles