دوال مثلثية

في الرياضيات، الدوال المثلثيَّة^[1] أو التوابع المُثلثية^[2] أو الاقترانات المثلثية (Trigonometric Functions)‏، وتُسمَّى أيضاً الدوال الزاويَّة أو الدوال الدائريَّة^[3] هي مجموعة من الدوال الحقيقيةٌ التي تربط زاوية مثلث قائم مع نسبة ضلعين من أضلاعه.^[4][5][6] من الدوال المثلثيةِ الشهيرة والأساسيّة، دالة الجيب، ويرمزُ إليها بالكتابة اللاتينية ${\displaystyle \sin }$، ودالةُ جيبِ التمام، ورمزها ${\displaystyle \cos }$، ودالة الظل، ورمزها ${\displaystyle \tan }$^{[ملاحظة 1]}. مقاليب هذه الدوال هم دوالٌ مثلثيّةٌ أيضاً وهي: القاطع وقاطع التمام وظل التمام على التوالي.^[1]

يعود حساب المثلثات إلى ما قبل الميلاد، تحديداً في مصر القديمة واليونان القديمة. وضع الرياضياتي طاليس مبرهنة طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، ووضع الرياضياتي فيثاغورس مبرهنة فيثاغورس، حيث يشار إلى هاتين المبرهنتين بأنهما حجر الأساس لحساب المثلثات. بالإضافة إلى مصر واليونان، حقق علماء الحضارات الأخرى، بما في ذلك الصين والهند والدول الإسلامية والدول الأوروبية، تقدمًا ملحوظًا في علم المثلثات؛ فبرز الخوارزمي والبتاني وأبو الوفاء محمد البوزجاني وشين كيو وغو شوجينغ وجورج يواخيم ريتيكوس وغيرهم.

يُمكن تعريفُ هذه الدوالِ على أنّها نسبةٌ بين أضلاعِ مُثلثٍ قائمٍ يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عموميةٍ، إحداثياتٍ على دائرة الوحدة.^{[ملاحظة 2]} عند الإشارة إلى المثلثات، غالباً يُقصدُ المثلثُ في السَطح المستوي. وذلك ليكون مجموعُ الزوايا ${\displaystyle 180^{\circ }}$ دائماً.

هناك عدة تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة التكاملات ومتسلسلات القوى والمعادلات التفاضلية، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم متسلسلة تايلور أو ماكلورين على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى المستوى العقدي.

يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك الزوجية والفردية، والدورية والاستمرارية والتعامد. التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل علم المساحة والملاحة ومجالات الفيزياء المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية التثليث التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في القياس البصري ثلاثي الأبعاد ؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي البصريات، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة انكسار الضوء. الدوال المثلثية دوال دوريَّةٌ، أي أنها تُكرر قيمتها بعد فترة محددة؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة كالموجات وهي الأساس الذي يرتكز عليه تحويل فورييه. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في صناعة الطاقة الكهربائية والاتصالات، ويشمل هذا تطبيق دراسة التيارات المتناوبة والتضمين التي تعتمد على موجات جيبية.

تعريف الدوال

يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال المقابل).

التسمية العربية[7]	التسمية الإنجليزية[3]	التسمية الفرنسية[3]	الترميز بالحروف العربية [8]	الترميز بالحروف اللاتينية [1][9][10][11]	مجال التعريف[ملاحظة 3][12]	مستقر[12]
الجَيْب	Sine	Sinus	جا	sin	جميع الأعداد الحقيقية	${\displaystyle [-1,1]}$
جَيْب التَمَام	Cosine	Cosinus	جتا	cos	جميع الأعداد الحقيقية	${\displaystyle [-1,1]}$
الظِل، الظل الأول، الظل القائم أو المنتصب أو المعكوس	Tangent	Tangente	ظا	tan	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$	جميع الأعداد الحقيقية
ظِل التمام، الظل الثاني أو المبسوط أو المستوي	Cotangent	Cotangente	ظتا	cot [ملاحظة 4]	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle k\pi }$	جميع الأعداد الحقيقية
القاطع، قطر الظل الأول	Secant	Sécante	قا	sec	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$	${\displaystyle ]-\infty ,1]\cup [1,+\infty [}$
قاطع التمام، قطر الظل الثاني، قطر الظل	Cosecant	Cosécante	قتا	csc [ملاحظة 5]	جميع أ.ح. ما عدا ${\displaystyle k\pi }$	${\displaystyle ]-\infty ,1]\cup [1,+\infty [}$

أصل تسمية الدوال

رسم توضيحي لسبب تسمية دالة الجيب بهذا الإسم

رسمٌ توضيحيٌّ لسبب تسمية الدوال

استُمِدّت الكلمة الإنجليزية "Sine" ^{[ملاحظة 6] (ملاحظة 1)} من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني "انحناء، خليج"، وبشكل أكثر تحديداً "الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة"، "طوق الثوب"، التي تم اختيارها على أنها ترجمة لِمَا تم تفسيره على أنه ترجمة الكلمة العربية الفصيحة "جَيْب" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى.^{[ملاحظة 7]} كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية "جيب" التي هي تحريف للكلمة جِيبا التي نشأت في حد ذاتها كنقحرة للكلمة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها jyā / ज्या (المصطلح السنسكريتي لدالة الجيب) إلى "وتر قوس المحارب".^[13] في القرن الحادي عشر، شرح أبو الريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:^[14]

أما عن كلمة "Tangent"، فقد أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني "يمُس"، لأن المستقيم يمس دائرة الوحدة، ^[15] أما عن الاسم العربي للدالة "ظل"، فقد استعمل لوصف مقدار ما يصنعه المقياس من ظله أثناء سقوط الضوء عليه بزاوية معينة، فسميت مجازًا بالظل.^[13][16]

بينما استمدت كلمة secant من اللاتينية "secans" التي تعني "يقطع" لأن المستقيم يقطع الدائرة،^[15] من المحتمل هذه التسمية كانت ترجمة للتسمية العربية "قاطع".

أما عن بادئة "co-" (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لـ sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى "جيب الزاوية المتممة لزاوية"؛^[17] أما عن التسمية العربية "جيب التمام"، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة "التمام" باللغة العربية تعني شيء متمم، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 في المثلث قائم الزاوية هي 60 وذلك لأن مجموعهما يعطي 90،^[13] التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या "كوتي-جيا" بمعنى "جيب القوس المتمم لقوس"، حيث يعني الجذر الأول للمصطلح "نهاية قوس المحارب" أو "نهاية" بشكل عام، ولكنها تعني في حساب المثلثات "متممة القوس" أو بمعنى آخر "القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية"، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر أنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.^[13][18][19]

التاريخ

العصر القديم

أبرخش، أطلق عليه اسم "أبو حساب المثلثات"

عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في علم الفلك، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر. تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع الهرم خوفو، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات.^[20] أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم "أبي حساب المثلثات". وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية.^[21] أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.^[22]

الرياضيات الهندية

كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في الهند. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب "سوريا سيدهانتا"، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. تلك مجموعة من الكتب العلمية "سيدهانتا" هي أول من عرفت الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامه)، ودالة الجيب العكسية.^[21] يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى كل الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" المستخدمة في علم الفلك الهندي للحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ومن العربية إلى اللاتينية.^[21][23]

كان بهاسكارا الثاني واحد من الأوائل الذين اكتشفوا النتائج المثلثية لـ ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ و ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$ ، مثل: ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b}$ ، كان ذلك في القرن الثاني عشر.^[13]

قام مادهافا السانغماغرامي في حوال عام 1400 بتطويرات مبكرة ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية (طالع متسلسلات مادهافا).^[24]

العصر الذهبي للحضارة الإسلامية

خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حل المثلثات.^[25] باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الرياضيات الهندية، اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام.^{[ملاحظة 8][13]}

في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام ويقال أنه أنتج أول جدول للظلال، كما أنه أنتج نسخة معدلة من زيج السند هند (الحاوية لجدول الجيوب) التي استعملت لحل المعضلات الفلكية.^[26] في حوالي عام 830، اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام، وأنتج جداول الظل وظل التمام.^[27][28] استخدم محمد بن جابر البتاني (853–929) لأول مرة مصطلحي "الجيب" و"جيب التمام" معرفاً إياهما بوصفهما أطوالاً بدلاً من نسب كما نعرفهما اليوم، أما الظل فقد أشار إليه بعبارة "الظل الممدود"؛^[29] كما أنه اكتشف الدوال المقلوبة: القاطع وقاطع التمام، وأنتج الجدول الأول لقواطع التمام لكل درجة من 1° إلى 90°،^[28][30] واكتشف أيضًا قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.^[31] في القرن العاشر، اكتشف أبو الوفاء البوزجاني قانون الجيب للمثلثات الكروية،^[32] واكتشف أيضا تلك المتطابقات المثلثية، حيث عبر الرياضياتيون اليونانيون عن تلك المتطابقات بدلالة الأوتار:^[27]

طُوِّرت طريقة التثليث لأول مرة من قبل علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل مسح الأراضي والجغرافيا الإسلامية،^[33] كما وصفها أبو ريحان البيروني في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة،^[34] كما أنه استخدم الرموز التالية للإشارة إلى الدوال: جا وجتا وظا وظتا وقا وقتا.^[7] في نهاية القرن الحادي عشر، حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة عن طريق الحلول العددية التقريبية التي تم الحصول عليها عن طريق استيفاء الجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، صاغ نصير الدين الطوسي قانون الجيب للمثلثات المسطحة، كما أنه اكتشف قانون الظل.^[35] قام غياث الدين الكاشي بتوحيد الأعمال الموجودة حول قانون جيب التمام، لذلك، أطلق الفرنسيين على هذا القانون اسم "مبرهنة الكاشي" (بالفرنسية: Théorème d'Al-Kashi)‏ تكريما له، وكان الكاشي أول من قدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث؛^[36] قام أيضًا بحساب جيب الزاوية 1° عن طريق حل معادلة من الدرجة الثالثة التالية: ${\displaystyle \sin 3\phi =3\sin \phi -4\sin ^{3}\phi \,\!}$. هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بـ"صيغة فييت" ونسبوها إلى فرانسوا فييت عن طريق الخطأ، ولكن الكاشي هو أول من أكتشف تلك الصيغة.^[37] في حوالي 1440، وضع الرياضياتي وحاكم الدولة التيمورية أولوغ بيك جداول دقيقة للجيب والظل ووصل إلى 9 أرقام عشرية بعد الفاصلة في نفس الوقت تقريبًا.^[38]

الرياضيات الصينية

لم يدرس العلماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كيو وغو شوجينغ الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، وجد شين كيو علاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c:^[39] ${\displaystyle s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}}$

النهضة الأوروبية وما بعدها

صفحة من كتاب يعود تاريخه إلى عام 1619 تحتوي على جدول للدوال التالية: الجيب، والظل والقاطع.

كانت أطروحات العالم الألماني ريغيومونتانوس (خاصةً De triangulis omnimodis في 1464) وتعليقاته على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا.^[21]

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد في القرن السادس عشر لأول مرة الاختصارات sin، وcos، وtan في كتابه "Trigonométrie".^[40]

ربما كان الكتاب Opus palatinum de triangulis لجورج يواخيم ريتيكيوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكيوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.^[41]

أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و"Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه "Geometria rotundi".^[42]

في مقال نُشر عام 1682، برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب sin x ليست بدالة جبرية ل x، أي أنها دالة متسامية.^[43]

كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).^[21]

الدوال المثلثية التاريخية

هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها أيضا اسم "الجيب المنكوس"^[44]) وسهم التمام ونصف السهم،^[45] القاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.^[46]

وحدات قياس الزوايا

الدرجة: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءا متساويا.

الراديان أو الزاوية نصف القطرية أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان.^[47][48]

الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة.^[49]

الدورة: تعادل 360° أو 2π راديان.

دقيقة وثانية القوس: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الاحداثيات الجغرافية.^[50]

• دقيقة القوس: تساوي 1/60 درجة أي 0.016°.^{[ملاحظة 9]}
• ثانية القوس: تساوي 1/3600 درجة أي 0.00027°.^{[ملاحظة 9]}

راديان مقابل درجات

في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، ويتم قياس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.^[51]

عند استخدام دالة مثلثية في حساب التفاضل والتكامل، فإن متغيرهم ليست عمومًا زاوية، لكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي طولَ قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية مع مركز الدائرة كرأس. لذلك، يُستخدم الراديان وحدةً للزاوية.^[47][51][52]

ميزة كبيرة للراديان هي أن العديد من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة كل الصيغ المتعلقة بالمشتقات والتكاملات.^[51]

هذا هو بالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية

يوضح الشكل المقابل مثلثًا قائما ^{[ملاحظة 10]} يتكون من ثلاثة أضلاع a و b و c وزوايا A و B و C. الزاوية C قياسها ${\displaystyle 90^{\circ }}$ وزاويتان أخريان حادتان ومتتامتان، بمعنى آخر، مجموع قياس الزاويتين يساوي ${\displaystyle 90^{\circ }}$ أو π/2 راديان.

يسمى الضلع المقابل للزاوية C الوتر (كما هو موضح في الشكل المقابل). عند اعتبار الزاوية A، يسمى الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة بالضلع المجاور للزاوية A (الضلع AC) والضلع المقابل للزاوية A (الضلع BC).

تعرف الدوال المثلثية الرئيسية للزاوية A بـ:^[1][53]

• جيب الزاوية: هو النسبة بين الضلع المقابل والوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر: ${\displaystyle \sin A={\frac {a}{\,c\,}}}$
• جيب تمام الزاوية: هو النسبة بين الضلع المحادي للزاوية ووتر المثلث، بتعبير آخر: ${\displaystyle \cos A={\frac {b}{\,c\,}}}$
• ظل الزاوية: يساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها، أي:

${\displaystyle \tan A={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {a}{\,c\,}}\times {\frac {c}{\,b\,}}={\frac {a}{\,c\,}}\div {\frac {b}{\,c\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}}$

وفقًا للتشابه الهندسي، إذا كان لمثلثين زوايا متساوية، فإن نسبة أضلاعهما متساوية. ونتيجة لذلك، تعتمد الدوال المثلثية التي تمثل النسبة بين طولي ضلعين على مقدار الزاوية فقط، يعني أن الدوال لا تتغير قيمتها مع التغير في طول الأضلاع.

بالنسبة للزاوية B، يمكننا أيضًا حساب الدوال المثلثية. الضلع المجاور للزاوية B (الضلع a) هو الضلع المقابل للزاوية A والضلع المقابل B (الضلع b) هو أيضًا الضلع المجاور لـ A، لذلك يمكن القول أن جيب الزاوية B هي جيب التمام الزاوية A والعكس صحيح. علاقة الجيب وجيب التمام بالزوايا المتتامة رياضيا هي كما يلي:^[53]

كلما ازدادت قيمة الزاوية A من صفر إلى 90 درجة، تناقص طول الضلع المجاور تدريجياً ويزداد طول الضلع المقابل. عندما تقترب هذه القيمة من 90 درجة، فإن طول الضلع المجاور يقترب من الصفر. نتيجة لذلك، يؤول جيب تمام الزاوية A إلى الصفر. من ناحية أخرى، فإن طول الضلع المقابل يكون مطابقا للوتر (وفقًا لمبرهنة فيثاغورس، فإن الوتر دائمًا أكبر من الضلعين الآخرين). ونتيجة لذلك، جيب الزاوية A يساوي واحدا. بشكل عام، تتراوح قيمة الجيب وجيب التمام في المثلث القائم، بين الصفر والواحد. يمكن تتبع تغيرات ظل الزاوية بنفس الطريقة. عند حوالي 90 درجة، يؤول ظل الزاوية A إلى اللانهاية، وعندما تقترب من الصفر، تقترب قيمته من الصفر، وبالتالي فإن قيمة ظل الزاوية هي عدد موجب (من الصفر إلى اللانهاية).

يمكن تعريف الدوال المثلثية الثلاث الأخرى بأنها مقاليب الدوال الثلاث المذكورة أعلاه:^[53]

• ظل تمام الزاوية: هو النسبة بين الضلع المجاور على الضلع المقابل، أي: ${\displaystyle \cot A={\frac {b}{\,a\,}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {1}{\tan A}}}$
• قاطع الزاوية: هو النسبة بين الوتر على الضلع المجاور، أي: ${\displaystyle \sec A={\frac {c}{\,b\,}}={\frac {1}{\cos A}}}$
• قاطع تمام الزاوية: هو النسبة بين الوتر على الضلع المقابل، أي: ${\displaystyle \csc A={\frac {c}{\,a\,}}={\frac {1}{\sin A}}}$

نطبق العلاقة بين الزوايا المتتامة، كما هو مذكور أعلاه في حالة الجيب و جيب التمام، أيضًا على الدوال المثلثية الأخرى:^[53]

ملخص العلاقات

تُلخص العلاقة بين الدوال المثلثية وأضلاع المثلث القائم بالعلاقات التالية:

sin A = المقابل/الوتر ، cos A = المجاور/الوتر ، tan A = المقابل/المجاور ، cot A = المجاور/المقابل ، sec A = الوتر/المجاور ، csc A = الوتر/المقابل

التعريف باستعمال دائرة الوحدة

(1) في هذا الرسم، الدوال المثلثية الستة لزاوية اختيارية θ ممثلة إحداثياتٍ ديكارتية للنقاط المتعلقة بدائرة الوحدة. الإحداثيات الصادية لكل من A وB وD هن sin θ وtan θ وcsc θ على التوالي. في حين أن الإحداثيات السينية لكل من A وC E هن cos θ وcot θ وsec θ على التوالي.

(2) رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر ${\displaystyle AD}$ الذي يصنع زاوية ${\displaystyle \theta }$ مع محور السينات^{[ملاحظة 11]} في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية: ${\displaystyle \sin ,\cos ,\tan ,\csc ,\sec ,\cot }$ فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل: ${\displaystyle {\text{cvs, excsc, crd, exsec, versin}}}$.

(3) يسرد مساعد الذاكرة "All science teachers (are) crazy" إشارات الدوال المثلثية من الربع الأول إلى الربع الرابع.^[47][54]

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية تسمحُ بتعريفِ الدوالِ المثلثيةِ للزوايا بينَ 0 و${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.^[55][56]

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ ${\displaystyle \theta }$^{[ملاحظة 12]} دائرةَ الوحدةِ في النقطة ${\displaystyle A=(x,y)}$ فإنّ الدالةُ ${\displaystyle \cos \theta }$ تُعرّف على أنها الإحداثي ${\displaystyle x}$ ^{[ملاحظة 13]} والدالة ${\displaystyle \sin \theta }$ هي الإحداثي ${\displaystyle y}$ ^{[ملاحظة 14]} لنقطة التقاطع. وبمعنى آخر فإنَّ: ${\displaystyle (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )}$. وبرسم مماسٍ من النقطة ${\displaystyle (x,y)}$ يقطعُ محورَي السينات^{[ملاحظة 11]} والصادات^{[ملاحظة 15]} في النقطتين ${\displaystyle E=(a,0),F=(0,b)}$ على الترتيب، فإنَّ ${\displaystyle a=\sec \theta ,b=\csc \theta }$.

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة ${\displaystyle (0,{\frac {\pi }{2}})}$ باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة ${\displaystyle OA=r}$ هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ على دائرة الوحدة تُحقّق ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم ${\displaystyle \triangle OCA}$، فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات ${\displaystyle x,y}$ يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$.^[5][55] وأخيراً فإنَّ المسافات ${\displaystyle AF,AE}$ تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: ${\displaystyle \cot {\theta },\tan {\theta }}$ على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة ${\displaystyle \triangle OAF,\triangle OAE,\triangle OEF}$للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:^[57]

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

بما أنَّ دوراناً بزاوية ${\displaystyle \pm 2\pi }$ لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط ${\displaystyle F,A,E}$ ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ ${\displaystyle 2\pi }$. وعلى ذلكَ، الدوال المثلثية هن دوالٌ دورية ذات دورة بطول ${\displaystyle 2\pi }$. بمعنى آخر، المساواةَ ${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)}$ و${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)}$ صالحةٌ لأي زاوية ${\displaystyle \theta }$ ولأي عدد صحيح ${\displaystyle k}$. ينطبق الشيء ذاته على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب وجيب التمام والقاطع وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدورة الأساسية لتلك الدوال. إلا أن بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصلي (الصورة (1))، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دورة أساسية π.^[1]

الدوران

يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:

انعكاس حول المحور الأفقي[58]	دوران بزاوية π/2	دوران بزاوية π	دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد صحيح)	انعكاس حول المحور العمودي
${\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\cos \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta +2k\pi )=+\sin \theta }$	${\displaystyle \sin(\pi -\theta )=\sin \theta }$
${\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\sin \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\theta +2k\pi )=+\cos \theta }$	${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }$
${\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +\pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \tan(\theta +2k\pi )=+\tan \theta }$	${\displaystyle \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta }$
${\displaystyle \cot(-\theta )=-\cot \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +\pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \cot(\theta +2k\pi )=+\cot \theta }$	${\displaystyle \cot(\pi -\theta )=-\cot \theta }$
${\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\csc \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +\pi )=-\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\theta +2k\pi )=+\sec \theta }$	${\displaystyle \sec(\pi -\theta )=-\sec \theta }$
${\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\sec \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +\pi )=-\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\theta +2k\pi )=+\csc \theta }$	${\displaystyle \csc(\pi -\theta )=\csc \theta }$

• 

  رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة

• 

  الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (منقط)، القاطع (منقط)، ظل التمام (منقط).

القيم الجبرية

دائرة الوحدة

رسم توضيحي لكيفية حساب جيب زاوية مقدارها 30 درجة باستخدام مثلث متساوي الأضلاع.

بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على قيم الدوال المثلثية بسهولة، تدعى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة أو الزوايا الشهيرة.

إذا كان مقدار الزاوية يساوي 0°، فإن جيبها يساوي 0 وجيب التمام يساوي 1. وإذا كان مقدار الزاوية يساوي 90°، يصبح جيب التمام يساوي 0 والجيب يساوي 1، بتعبير آخر:

${\displaystyle \sin 0^{\circ }=\cos 90^{\circ }=0}$

${\displaystyle \sin 90^{\circ }=\cos 0^{\circ }=1}$

المثلث القائم ذو زاوية 45° له زاوية حادة أخرى تبلغ 45° أيضا، يطلق على هذا المثلث اسم مثلث قائم ومتساوي الساقين. في هذا المثلث، بناءً على مبرهنة فيثاغورس، طول الوتر يساوي √2 مرة طول كل من الساقين، إذن:

${\displaystyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

${\displaystyle \tan 45^{\circ }=\cot 45^{\circ }=1}$

باستخدام خصائص مثلث متساوي الأضلاع (الشكل المقابل)، يمكن إظهار أن الضلع المقابل للزاوية 30° هو نصف طول الوتر، إذن:

${\displaystyle \sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}}$

وبالمثل، يتم الحصول على طول الضلع الآخر باستخدام مبرهنة فيثاغورس، الذي يساوي √3/2، نتيجة لذلك:

${\displaystyle \sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

إن كتابة البسوط جذورا تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة المتتالية، مع مقام يساوي 2، توفر طريقة سهلة لتذكر القيم.^[59]

مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات نسبية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، وهي من مضاعفات العدد 3، قد يتم التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، طالع قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية.^[60] وبالتالي قد يتم انشاء هذه القيم للجيب وجيب التمام بواسطة المسطرة والفرجار.

بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي.^[61] تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف 3°، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد نسبي، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية.^[61]

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، ثُبتت في عام 1966.^[62]

القيم الجبرية البسيطة

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية.^[63] يمثل الرمز ∞ النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنها غير مؤشَّرة، لأنها عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

راديان	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
درجة	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle 22.5^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 67.5^{\circ }}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$
${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle \csc }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$

حساب التفاضل والتكامل

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لتعريف الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك عدة امكانيات، منها التعريف باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات الأخيرة متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

الاشتقاق والمكاملة

المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:

دالة	مشتقها الأول[48]	مشتقها الثاني	مشتقها من الرتبة n[64]	تكامل[47]
${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle -\sin(x)}$	${\displaystyle \sin(x+{\frac {n\pi }{2}})}$	${\displaystyle -\cos(x)}$
${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle -\sin(x)}$	${\displaystyle -\cos(x)}$	${\displaystyle \cos(x+{\frac {n\pi }{2}})}$	${\displaystyle \sin(x)}$
${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle \sec ^{2}(x)}$	${\displaystyle 2\sec ^{2}(x).\tan(x)}$	معقد[65]	${\displaystyle -\ln |\cos(x)|}$
${\displaystyle \cot(x)}$	${\displaystyle -\csc ^{2}(x)}$	${\displaystyle 2\csc ^{2}(x).\cot(x)}$	معقد[65]	${\displaystyle \ln |\sin(x)|}$
${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle \sec(x).\tan(x)}$	${\displaystyle \sec(x)(\sec ^{2}(x)+\tan ^{2}(x))}$	معقد[65]	${\displaystyle \ln |\sec(x)+\tan(x)|}$
${\displaystyle \csc(x)}$	${\displaystyle -\csc(x).\cot(x)}$	${\displaystyle \csc(x)(\csc ^{2}(x)+\cot ^{2}(x))}$	معقد[65]	${\displaystyle -\ln |\csc(x)+\cot(x)|}$

تعريف بواسطة التكامل

يمكن الحصول على تعريف آخر استنادا إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. باعتبار معادلة النصف العلوي للدائرة ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$، يمكننا إيجاد العلاقة بين الزاوية ${\displaystyle \theta }$ و${\displaystyle \sin \theta }$ وفقًا للمعادلة التالية:^[66][67]

${\displaystyle \int _{0}^{\sin \theta }{\sqrt {1+\left({d \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2}}}dx=\int _{0}^{\sin \theta }{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\theta }$

حيث تنتمي الزاوية θ إلى المجال ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$.

التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية

• الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,\\\sin 0&=0,\\\cos 0&=1.\end{aligned}}}$

كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية: ${\displaystyle y''=-y}$ (معادلتها المميزة هي ${\displaystyle m^{2}+1=0}$، جذرها هي وحدة تخيلية موجبة أو سالبة ±i) بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.

الجيب هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:^[68]

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=0\\[2pt]y\,'(0)=1\end{cases}}}$

جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:^[68]

${\displaystyle {\begin{cases}y(0)=1\\[2pt]y\,'(0)=0\end{cases}}}$

بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=1+\tan ^{2}x.}$

إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:

${\displaystyle y'=1+y^{2}}$

• نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية: ${\displaystyle ay''+by'+cy=0}$

إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل ${\displaystyle y=A_{1}e^{m_{1}x}+A_{2}e^{m_{2}x}}$، حيث ${\displaystyle m_{1}}$ و ${\displaystyle m_{2}}$ هما جذور المعادلة المميزة للمعادلة (${\displaystyle am^{2}+bm+c=0}$). أيضا ${\displaystyle A_{1}}$ و ${\displaystyle A_{2}}$ هي ثوابت كيفية بناءً على الشروط الأولية.

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور عقدية، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية العقدية:

${\displaystyle y=A_{1}.e^{(\alpha +i\beta )x}+A_{2}.e^{(\alpha -i\beta )x}}$

حيث ${\displaystyle \alpha }$ هو الجزء الحقيقي و ${\displaystyle \beta }$ هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية العقدية إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور العقدية، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:^[69]

${\displaystyle y=A_{1}.e^{\alpha x}\cos \beta x+A_{2}.e^{\alpha x}\sin \beta x}$

باستعمال المتسلسلات

دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة متعددة الحدود لتايلور من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَعلم.

الرسوم المتحركة لتقريب جيب التمام بواسطة متعددة الحدود لتايلور.

${\displaystyle \cos(x)}$ إلى جانب متعددات الحدود الأولى لتايلور ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$

دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.

باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:^[70]

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots }$

حيث يرمز n! إلى عاملي عدد.

عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا:^[71]

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots }$

ملاحظة: الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية.

متسلسلات تايلور لكل من الجيب وجيب التمام

• جيب الزاوية:^[72]

يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.

• جيب تمام الزاوية

وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

نصف قطر التقارب ^{[ملاحظة 16]} لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوال كاملة، والتي هي (بالتعريف) دوال ذات قيم عقدية (مركبة) وتامة الشكل على مجمل المستوي العقدي.^[73]

متسلسلات القوة لباقي الدوال

الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع اللتان هي غير معرفة عند π/2 (أو ° 90)، فإن مجال تعريف متسلسلاتهم هي بين -π/2 و π/2. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام اللتان هي غير معرفة عند الصفر، فإن مجال تعريف متسلسلاتهم هي بين 0 و π وبين -π و 0. ^[74]

بتعبير أدق، نعرف:

U_n، هو عدد Up/down من الرتبة n.

B_n، هو عدد بيرنولي من الرتبة n.

و E_n، هو عدد أويلر من الرتبة n.

• ظل الزاوية:

• قاطع التمام:

• قاطع الزاوية:

• ظل التمام:

تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الكاملة. ولذلك، يمكن أن تُمدّد إلى دوال جزئية الشكل، والتي هي دوال تامة الشكل في كامل المستوي العقدي، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب. هنا، الأقطاب هي أعداد من الشكل ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو ${\displaystyle k\pi }$ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، حيث k هو عدد صحيح كيفي.^[75]

يمكن أيضًا حساب علاقات الاستدعاء الذاتي لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير توافقي: فهي تُعدّد التبديلات المتناوبة للمجموعات المنتهية.^[76]

عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يتم استخدام عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من الرتبة n لمتسلسلة بواسطة:^[47]

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1},a<c<x}$

مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض سرعة التقارب. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.

لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{4}}\right)}$، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى ${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$. بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.^[77]

متسلسلات أخرى

هناك تمثيل متسلسلات تحليلا كسريا جزئيا، حيث يتم تجميع دوال المقلوب المزاحة فقط، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:^[78]

${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}}$

يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة خدعة هرغلوتز (Herglotz).^[79]

الكسور المستمرة المعممة

كسر مستمر معمم هو تعميم للكسور المستمرة الاعتيادية حيث تأخذ مقاماته وبسوطه قِيَمًا حقيقية أو عقدية ما.

يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:^[80]

فيما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:

متسلسلة الجداء اللانهائي

الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:^[81]

${\displaystyle \sin z=z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:^[81]

${\displaystyle \cos z=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$

باستخدام المعادلات الدالية

يمكننا أيضا تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.^{[ملاحظة 17]}

مثلا،^[82] الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من الدوال المستمرة التي تحقق صيغة الفرق:

${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$

بشرط أن تكون ${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x}$ من أجل ${\displaystyle 0<x<1}$.

في المستوي المركب

يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد مركب بدلالة الدوال نفسها والدوال الزائدية:^[83]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

من الممكن أن نمثل بيانيا الدوال المثلثية دوالا ذات قيم عقدية (مركبة) عن طريق تمثيل بواسطة الألوان. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال العقدية من الرسم البياني؛ على سبيل المثال، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية توضح العلاقات بينهما.^[84]

تمثيل الدوال على المستوى العقدي:

${\displaystyle \sin z\,}$	${\displaystyle \cos z\,}$	${\displaystyle \tan z\,}$	${\displaystyle \cot z\,}$	${\displaystyle \sec z\,}$	${\displaystyle \csc z\,}$	التمثيل البياني لـ z=x+iy التي استخدمت في التمثيلات البيانية.